คุณรู้ข้อเท็จจริงที่สนุกมีประโยชน์และมีประโยชน์ทางคณิตศาสตร์อะไรที่ไม่ได้สอนที่โรงเรียนปกติ?

ตอบ:

วิธีการประเมิน "หอคอยแห่งเลขชี้กำลัง" เช่น #2^(2^(2^2))#และวิธีการคิดเลขหลักสุดท้ายของ # 2 ^ n # # ninNN #.

คำอธิบาย:

ในการประเมิน "หอคอย" เหล่านี้เราเริ่มต้นที่ด้านบนและลงมือทำ

ดังนั้น:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

ในโน้ตที่คล้ายกัน แต่ไม่เกี่ยวข้องเล็กน้อยฉันก็รู้วิธีที่จะคำนวณตัวเลขสุดท้ายของ #2# ยกระดับเป็นเลขชี้กำลังตามธรรมชาติใด ๆ ตัวเลขสุดท้ายของ #2# ยกเป็นบางสิ่งบางอย่างเสมอรอบระหว่างสี่ค่า: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

ดังนั้นหากคุณต้องการหาเลขตัวสุดท้ายของ # 2 ^ n #หาที่ที่อยู่ในวัฏจักรและคุณจะรู้เลขตัวสุดท้ายของมัน

ตอบ:

ถ้า #n> 0 # และ # A # เป็นการประมาณค่า #sqrt (n) #จากนั้น:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))))

ที่ไหน #b = n-a ^ 2 #

คำอธิบาย:

สมมติว่าเราต้องการหาสแควร์รูทของจำนวนหนึ่ง #n> 0 #.

นอกจากนี้เราต้องการให้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนต่อเนื่องบางชนิดที่ทำซ้ำในแต่ละขั้นตอน

ลอง:

#sqrt (n) = a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))))

#color (white) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …))))))

#color (white) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

ลบออก # A # จากปลายทั้งสองเพื่อรับ:

#sqrt (n) -a = b / (A + sqrt (n)) #

คูณทั้งสองข้างด้วย #sqrt (n) + A # ที่จะได้รับ:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

ดังนั้นถ้า # a ^ 2 # น้อยกว่าเล็กน้อย # n #จากนั้น # B # จะมีขนาดเล็กและเศษส่วนต่อเนื่องจะมาบรรจบกันเร็วขึ้น

ตัวอย่างเช่นถ้าเรามี # n = 28 # และเลือก # A = 5 #จากนั้นเราจะได้รับ:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

ดังนั้น:

#sqrt (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 +3 / (10 +3 / (10 + 3 / (10 + …))))))

ซึ่งทำให้เราประมาณ:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

เครื่องคิดเลขบอกฉัน #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

ดังนั้นนี่จึงไม่ใช่การบรรจบกันอย่างรวดเร็ว

หรือเราอาจใส่ # n = 28 # และ # A = 127/24 # การค้นหา:

#b = n-a ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

ดังนั้น:

#sqrt (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) #

ให้เราประมาณ:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

ที่มาบรรจบกันเร็วกว่ามาก

ตอบ:

คุณสามารถค้นหาการประมาณรากที่สองโดยใช้ลำดับที่กำหนดซ้ำ

คำอธิบาย:

#COLOR (สีขาว) () #

วิธีการ

รับจำนวนเต็มบวก # n # ซึ่งไม่ใช่ตารางที่สมบูรณ์แบบ:

• ปล่อย #p = floor (sqrt (n)) # เป็นจำนวนเต็มบวกที่ใหญ่ที่สุดที่มีค่าไม่เกิน # n #.

• ปล่อย #q = n-p ^ 2 #

• กำหนดลำดับของจำนวนเต็มโดย:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "สำหรับ" i> = 1):} #

จากนั้นอัตราส่วนระหว่างเงื่อนไขต่อเนื่องของลำดับจะมีแนวโน้ม # P + sqrt (n) #

#COLOR (สีขาว) () #

ตัวอย่าง

ปล่อย # n = 7 #.

แล้วก็ #p = floor (sqrt (7)) = 2 #, ตั้งแต่ #2^2=4 < 7# แต่ #3^2 = 9 > 7#.

แล้วก็ # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

ดังนั้นลำดับของเราเริ่มต้น:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

ในทางทฤษฎีอัตราส่วนระหว่างคำต่อเนื่องควรมีแนวโน้มที่จะ # 2 + sqrt (7) #

มาดูกัน:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

สังเกตได้ว่า # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#COLOR (สีขาว) () #

มันทำงานอย่างไร

สมมติว่าเรามีลำดับที่กำหนดโดยค่าที่กำหนดของ # a_1, a_2 # และกฎ:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

สำหรับค่าคงที่บางค่า # P # และ # Q #.

พิจารณาสมการ:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

รากของสมการนี้คือ:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

จากนั้นลำดับใด ๆ ที่มีคำทั่วไป # Ax_1 ^ + n Bx_2 ^ n # จะตอบสนองกฎการเกิดซ้ำที่เราระบุ

แก้ปัญหาต่อไป:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

สำหรับ # A # และ # B #.

เราพบ:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

และด้วยเหตุนี้:

# A = (a_1x_2-A_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-A_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

ดังนั้นด้วยค่าเหล่านี้ของ # x_1, x_2, A, B # เรามี:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

ถ้า #q <3p ^ 2 # แล้วก็ #abs (x_2) <1 # และอัตราส่วนระหว่างคำต่อเนื่องจะมีแนวโน้ม # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

ตอบ:

การแบ่งส่วนโมดูลาร์

คำอธิบาย:

การหารแบบแยกส่วนเป็นแบบเดียวกับการหารยกเว้นคำตอบคือส่วนที่เหลือแทนที่จะเป็นค่าจริง มากกว่าที่จะ #-:# สัญลักษณ์คุณใช้ #%# สัญลักษณ์.

ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องแก้ปัญหา #16-:5# คุณจะได้รับ #3# เหลือ #1# หรือ #3.2#. อย่างไรก็ตามการใช้ส่วนแบบแยกส่วน #16%5=1#.

ตอบ:

การประเมินกำลังสองพร้อมกับการสรุป

คำอธิบาย:

โดยปกติแล้วคุณควรรู้ว่าช่องสี่เหลี่ยมเช่น #5^2=25#. อย่างไรก็ตามเมื่อตัวเลขมีขนาดใหญ่ขึ้นเช่น #25^2#มันยากที่จะรู้จากส่วนบนของหัวคุณ

ฉันรู้ว่าหลังจากผ่านไปครู่หนึ่งสี่เหลี่ยมก็แค่จำนวนคี่

สิ่งที่ฉันหมายถึงคือ:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # ที่ไหน # k # คือค่าฐานลบ #1#

ดังนั้น #5^2# สามารถเขียนเป็น:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

ที่จะให้คุณ:

#1+3+5+7+9#

อันที่จริงแล้วคือ #25#.

เนื่องจากจำนวนที่เพิ่มขึ้นเสมอโดย #2#ฉันสามารถเพิ่มเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายแล้วคูณด้วย # k / 2 #.

ดังนั้นสำหรับ #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

ดังนั้นฉันสามารถทำได้ #(49+1)(25/2)# และรับ #25^2# ซึ่งเป็น #625#.

มันไม่ได้ใช้งานได้จริง แต่มันน่าสนใจที่จะรู้

#COLOR (สีขาว) () #

โบนัส

รู้ว่า:

# n ^ 2 = overbrace (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n คำศัพท์" = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

ช่วยให้เราแก้ปัญหาบางอย่างเกี่ยวกับความแตกต่างของกำลังสอง

ตัวอย่างเช่นอะไรคือคำตอบทั้งหมดในจำนวนเต็มบวก #m, n # ของ # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

สิ่งนี้จะช่วยลดการค้นหาจำนวนเต็มจำนวนคี่ที่ต่อเนื่องที่รวมกัน #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "ปานกลาง 20" #

#color (white) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

#color (white) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

#color (white) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "เฉลี่ย 10" #

#color (white) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

#color (white) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (white) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #