กรุณาอธิบายนี่เป็นการแปลงเชิงเส้นหรือไม่?

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

การเปลี่ยนรูป #T: V to W # ถูกกล่าวว่าเป็นเส้นตรงถ้ามีสองคุณสมบัติต่อไปนี้:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # สำหรับทุกคน # v_1, v_2 in V #
• #T (CV) = cT (V) # สำหรับทุกคน #v ใน V # และเซนต์คิตส์และเนวิส c # #

โปรดทราบว่าคุณสมบัติที่สองถือว่า # V # ถูกฝังอยู่กับสองการดำเนินงานของการคูณผลรวมและสเกลาร์ ในกรณีของเราผลรวมคือผลรวมระหว่างพหุนามและการคูณคือการคูณด้วยจำนวนจริง (ฉันถือว่า)

เมื่อคุณได้พหุนามมาคุณก็ลดระดับลงด้วย #1#ดังนั้นถ้าคุณได้พหุนามมา #4# สองครั้งคุณจะได้พหุนามดีกรี #2#. โปรดสังเกตว่าเมื่อเราพูดถึงเซตของโพลิโนเมียลทั้งสี่ระดับเราก็หมายถึงเซตของพหุนามทั้งหมดของดีกรี ที่มากที่สุด สี่ อันที่จริง, พหุนามสี่ระดับทั่วไปคือ

# a_0 + + a_1x a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 ^ + a_4x 4 #

ถ้าคุณต้องการองศาสองพหุนาม # 3 + 6x-5x ^ 2 #ตัวอย่างเช่นคุณเพียงแค่เลือก

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

ด้วยการที่ถูกกล่าวว่าขอระบุพื้นที่พหุนามของการศึกษาระดับปริญญา # n # กับ # P_n #และกำหนดผู้ประกอบการของเรา #T: P_4 ถึง P_2 # ดังนั้น #T (f (x)) = f '' (x) #

ลองหาคุณสมบัติแรก: สมมติว่าเรามีพหุนาม

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

และ

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

ซึ่งหมายความว่า # P_1 + P_2 # เท่ากับ

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (+ A_2 b_2) x ^ 2 + (+ A_3 b_3) x ^ 3 + (+ a_4 b_4) x ^ 4 #

#T (P_1 + P_2) # เป็นอนุพันธ์อันดับสองของพหุนามนี้ดังนั้นมันจึงเป็น

# 2 (A_2 + b_2) 6 (A_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(ฉันใช้กฎกำลังสองสำหรับการหามา: อนุพันธ์อันดับสองของ # x ^ n # คือ #N (n-1) x ^ {n-2} #)

ทีนี้ลองคำนวณดู #T (P_1) #, เช่นอนุพันธ์อันดับสองของ # P_1 #:

# 2a_2 + + 6a_3x 12a_4x ^ 2 #

ในทำนองเดียวกัน #T (P_2) #, เช่นอนุพันธ์อันดับสองของ # P_2 #, คือ

# 2b_2 + + 6b_3x 12b_4x ^ 2 #

หากคุณรวมการแสดงออกเหล่านี้คุณจะเห็นว่าเรามี

#T (P_1 + P_2) = T (P_1) + T (P_2) #

คุณสมบัติที่สองแสดงในลักษณะคล้ายกัน: กำหนดพหุนาม

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

เรามีจำนวนจริงใด ๆ c # #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

อนุพันธ์อันดับสองจึงเป็นเช่นนั้น

# 2ca_2 + + 6ca_3x 12ca_4x ^ 2 #

ซึ่งอีกครั้งเหมือนกับการคำนวณ #T (P) #แล้วคูณทุกอย่างด้วย c # #เช่น #T (CP) = cT (P) #