ตอบ:
=> (2sqrt3) / 3 ตัน ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c
คำอธิบาย:
กำลังดำเนินการ …
ปล่อย 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2
=> sqrt (3) / 2 u = x-1/2
=> sqrt (3) / 2 du = dx
=> int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du
=> sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) ดู
=> (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du
ใช้ antiderivative สิ่งที่ควรมุ่งมั่นกับหน่วยความจำ …
=> (2sqrt3) / 3 ตัน ^ (- 1) u + c
=> u = (2x-1) / sqrt3
=> (2sqrt3) / 3 ตัน ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c
นี่เป็นอินทิกรัลเล็กน้อยที่ยุ่งยากและวิธีแก้ปัญหาจะไม่ปรากฏชัดเจนในตอนแรก เนื่องจากนี่เป็นเศษส่วนเราอาจลองพิจารณาใช้เทคนิคเศษส่วนบางส่วน แต่การวิเคราะห์อย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ตั้งแต่ x ^ 2 + x 1 ไม่ได้เป็นปัจจัย
เราจะพยายามทำให้อินทิกรัลนี้เป็นแบบฟอร์มที่เราสามารถรวมเข้าด้วยกันได้ สังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่าง int1 / (x ^ 2 + x-1) DX และ int1 / (x ^ 2 + 1) DX ; เรารู้ว่าอินทิกรัลหลังประเมินเป็น arctanx + C . เราจะพยายามให้ได้ x ^ 2 + x 1 ในรูปแบบ K (x-A) ^ 2 + 1 แล้วจึงใช้ arctanx กฎ.
เราจะต้องทำให้สี่เหลี่ยมให้สมบูรณ์ x ^ 2 + x 1 :
x ^ 2 + x 1
= x ^ 2 + x 1/4 + 1-1 / 4
= (x-1/2) ^ 2 + 4/3
= (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2
= (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1)
= (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)
(ยุ่งมากฉันรู้)
ตอนนี้เรามีมันในรูปแบบที่เราต้องการเราอาจดำเนินการดังนี้:
int1 / (x ^ 2 x + 1) DX = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) DX
= 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) DX
= 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) DX
= 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C
= (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C
