ตอบ:
# => (2sqrt3) / 3 ตัน ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #
คำอธิบาย:
กำลังดำเนินการ …
ปล่อย # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #
# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #
# => sqrt (3) / 2 du = dx #
# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #
# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) ดู #
# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #
ใช้ antiderivative สิ่งที่ควรมุ่งมั่นกับหน่วยความจำ …
# => (2sqrt3) / 3 ตัน ^ (- 1) u + c #
# => u = (2x-1) / sqrt3 #
# => (2sqrt3) / 3 ตัน ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #
นี่เป็นอินทิกรัลเล็กน้อยที่ยุ่งยากและวิธีแก้ปัญหาจะไม่ปรากฏชัดเจนในตอนแรก เนื่องจากนี่เป็นเศษส่วนเราอาจลองพิจารณาใช้เทคนิคเศษส่วนบางส่วน แต่การวิเคราะห์อย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ตั้งแต่ # x ^ 2 + x 1 # ไม่ได้เป็นปัจจัย
เราจะพยายามทำให้อินทิกรัลนี้เป็นแบบฟอร์มที่เราสามารถรวมเข้าด้วยกันได้ สังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่าง # int1 / (x ^ 2 + x-1) DX # และ # int1 / (x ^ 2 + 1) DX #; เรารู้ว่าอินทิกรัลหลังประเมินเป็น # arctanx + C #. เราจะพยายามให้ได้ # x ^ 2 + x 1 # ในรูปแบบ #K (x-A) ^ 2 + 1 #แล้วจึงใช้ # arctanx # กฎ.
เราจะต้องทำให้สี่เหลี่ยมให้สมบูรณ์ # x ^ 2 + x 1 #:
# x ^ 2 + x 1 #
# = x ^ 2 + x 1/4 + 1-1 / 4 #
# = (x-1/2) ^ 2 + 4/3 #
# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #
# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1) #
# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) #
(ยุ่งมากฉันรู้)
ตอนนี้เรามีมันในรูปแบบที่เราต้องการเราอาจดำเนินการดังนี้:
# int1 / (x ^ 2 x + 1) DX = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)) DX #
# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) DX #
# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) DX #
# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #
# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #
