โปรดช่วยฉันในเรื่องนี้ทำอย่างไร?

ตอบ:

#k = 3 #

คำอธิบาย:

การใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลังนั้น ๆ # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # และ # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, เรามี

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

ดังนั้น #13!# หารด้วย # 24 ^ k # ถ้าและเพียงถ้า #13!# หารด้วย # 2 ^ (3k) # และหารด้วย # 3 ^ k #.

เราสามารถบอกพลังที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ #2# โดยที่ #13!# หารด้วยถ้าเราดูที่ปัจจัยที่หารด้วย #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

ในฐานะที่เป็นปัจจัยแปลกไม่มีปัจจัยใด ๆ ของ #2#, เรามี

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

ที่ไหน # ม # เป็นจำนวนเต็มบางส่วนที่ไม่สามารถหารด้วย #2#. เช่นนี้เรารู้ว่า #13!# หารด้วย # 2 ^ (3k) # ถ้าและเพียงถ้า #2^10# หารด้วย # 2 ^ (3k) #ความหมาย # 3k <= 10 #. เช่น # k # เป็นจำนวนเต็มซึ่งหมายความว่า #k <= 3 #.

ต่อไปเราสามารถดูปัจจัยที่ #13!# หารด้วย #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

เนื่องจากไม่มีปัจจัยอื่น ๆ #13!# มีส่วนร่วมในปัจจัยใด ๆ ของ #3#หมายความว่า

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

ที่ไหน # n # เป็นจำนวนเต็มบางส่วนที่ไม่สามารถหารด้วย #3#. เช่นนี้เรารู้ว่า #3^5# หารด้วย # 3 ^ k #ความหมาย #k <= 5 #.

จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่าลบที่ใหญ่ที่สุดซึ่งเป็นไปตามข้อ จำกัด #K <= 3 # และ #K <= 5 # คือ #3#ให้คำตอบแก่เรา # k = 3 #.

เครื่องคิดเลขจะตรวจสอบว่า #(13!)/24^3 = 450450#ในขณะที่ #(13!)/24^4=18768.75#