อะไรคือรูปแบบมาตรฐานของสมการของพาราโบลาที่มี directrix ที่ x = 103 และโฟกัสที่ (108,41)

ตอบ:

# x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

คำอธิบาย:

พาราโบลาคือโลคัสของจุดซึ่งเคลื่อนที่เพื่อให้ระยะทางจากบรรทัดที่กำหนดที่เรียกว่า directrix และจุดที่กำหนดที่เรียกว่าการโฟกัสมีค่าเท่ากันเสมอ

ทีนี้ระยะห่างระหว่างสองไพน์ # (x_1, y_1) # และ # (x_2, y_2) # ได้รับจาก #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # และระยะทางของจุด # (x_1, y_1) # จากบรรทัด # ขวาน + โดย + C = 0 # คือ # | (ax_1 + by_1 + C) / sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) | #

มาถึงพาราโบลาด้วย directrix # x = 103 # หรือ # x-103 = 0 # และมุ่งเน้น #(108,41)#ให้จุดนั้นมีระยะห่างเท่ากันจากทั้งคู่ # (x, y) #. ระยะทางของ # (x, y) # จาก # x-103 = 0 # คือ

# | (x-103) / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

และระยะทางจาก #(108,41)# คือ

#sqrt ((108 x) ^ 2 + (41-y) ^ 2) #

และเมื่อทั้งสองเท่ากันสมการของพาราโบลาก็จะเป็น

# (108 x) ^ 2 + (41-y) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

หรือ # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + Y ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

หรือ # 11664 + x ^ 2-216x + 1681 + Y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

หรือ # Y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

หรือ # 10x y = ^ 2-82y + 2736 #

หรือ # 10x = (y-41) ^ 2 + 1055 #

หรือในรูปแบบจุดสุดยอด # x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

และจุดสุดยอดคือ #(105 1/2,41)#

กราฟของมันจะปรากฏขึ้นดังแสดงด้านล่างพร้อมกับโฟกัสและ Directrix

กราฟ {(y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0.6) (x-103) = 0 51.6, 210.4, -13.3, 66.1}