S = (a (r ^ n -1)) / (r-1) กำลังสร้างสูตรวิชา .. ?

ตอบ:

โดยทั่วไปไม่สามารถทำได้ …

คำอธิบาย:

ได้รับ:

#s = (a (r ^ n-1)) / (r-1) #

โดยหลักการแล้วเราต้องการได้สูตรดังนี้:

#r = "นิพจน์บางตัวใน" s, n, a #

สิ่งนี้จะเป็นไปไม่ได้สำหรับค่าทั้งหมดของ # n #. ตัวอย่างเช่นเมื่อ # n = 1 # เรามี:

#s = (a (r ^ color (สีน้ำเงิน) (1) -1)) / (r-1) = a #

แล้วก็ # R # สามารถใช้ค่าใด ๆ นอกเหนือจาก #1#.

นอกจากนี้โปรดทราบว่าถ้า # A = 0 # แล้วก็ # s = 0 # และอีกครั้ง # R # สามารถใช้ค่าใด ๆ นอกเหนือจาก #1#.

ให้เราดูว่าเราจะไปได้ไกลแค่ไหนโดยทั่วไป:

ก่อนอื่นคูณทั้งสองข้างของสมการที่กำหนดด้วย # (R-1) # ที่จะได้รับ:

#s (r-1) = a (r ^ n-1) #

ทวีคูณทั้งสองด้านสิ่งนี้กลายเป็น:

# SR-s = AR ^ n-A #

จากนั้นลบทางซ้ายมือจากทั้งสองด้านเราจะได้:

# 0 = ar ^ n-sr + (s-a) #

ทะลึ่ง รุ่น A ประเภทสิทธิ! = 0 #เราสามารถหารมันได้ด้วย # A # เพื่อให้ได้สมการพหุนาม monic:

# r ^ n-s / a r + (s / a-1) = 0 #

โปรดทราบว่าสำหรับค่าใด ๆ ของ #เช่น# และ # n # รากเดียวของพหุนามนี้คือ # r = 1 #แต่นั่นคือค่าที่ยกเว้น

ให้เราพยายามแยกตัวออก # (R-1) #…

# 0 = r ^ n-s / a r + (s / a-1) #

#color (white) (0) = r ^ n-1-s / a (r-1) #

#color (white) (0) = (r-1) (r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a) #

ดังนั้นหารด้วย # (R-1) # เราได้รับ:

# r ^ (n-1) + r ^ (n-2) + … + 1-s / a = 0 #

การแก้ปัญหานี้จะใช้รูปแบบที่แตกต่างกันมากสำหรับค่าที่แตกต่างกันของ # n #. ตามเวลาที่กำหนด #n> = 6 #มันไม่สามารถแก้ไขได้โดยอนุมูล