คำถาม # 0df97

ตอบ:

คำตอบของ 4 คือ # อี ^ -2 #.

คำอธิบาย:

ปัญหาคือ:

#lim_ (x-> OO) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

ตอนนี้เป็นปัญหาที่ยาก การแก้ปัญหาอยู่ในการจดจำรูปแบบที่ระมัดระวังมาก คุณอาจจำคำจำกัดความของ # E #:

# E = lim_ (U-> OO) (1 + 1 / u) ^ U ~~ 2.718 … #

หากเราสามารถเขียนขีด จำกัด เป็นสิ่งที่ใกล้เคียงกับคำจำกัดความของ # E #เราจะได้คำตอบของเรา ลองทำดู

สังเกตได้ว่า #lim_ (x-> OO) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # เทียบเท่ากับ:

#lim_ (x-> OO) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

เราสามารถแยกเศษส่วนได้ดังนี้:

#lim_ (x-> OO) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> OO) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

เราไปถึงที่นั่น! ลองแยกตัวประกอบ #-2# จากด้านบนและด้านล่าง:

#lim_ (x-> OO) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> OO) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> OO) (1+ (ยกเลิก (-2)) / (ยกเลิก (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> OO) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

ให้เราใช้การทดแทน # U = -x-2-> x = -2-U #:

#lim_ (x-> OO) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-U) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

คุณสมบัติของเลขชี้กำลังพูดว่า: # x ^ (A + B) = x ^ ^ ขวาน B #

ดังนั้น #lim_ (x-> OO) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # เทียบเท่ากับ:

#lim_ (x-> OO) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

คุณสมบัติของเลขชี้กำลังยังบอกด้วยว่า: # x ^ (AB) = x ^ (ก ^ ข) #

ซึ่งหมายความว่าสิ่งนี้จะช่วยลด:

#lim_ (x-> OO) (1 + 1 / u) ^ ((U) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = lim_ (x-> OO) (1 + 1 / u) ^ ((U) ^ (- 2)) lim_ (x-> OO) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

ตามคำนิยาม #lim_ (x-> OO) (1 + 1 / u) ^ (U) = E #; และใช้การทดแทนโดยตรงกับขีด จำกัด ที่สอง:

#lim_ (x-> OO) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / OO) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

ดังนั้นทางออกคือ …

#lim_ (x-> OO) (1 + 1 / u) ^ ((U ^ () - 2)) lim_ (x-> OO) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = (จ) ^ - 2 (1) #

# = ^ อี -2 #