มีจุดใด (x, y) บนเส้นโค้ง y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0 ซึ่งแทนเจนต์นั้นขนานกับแกน x หรือไม่?

ตอบ:

ไม่มีประเด็นเช่นนี้เท่าที่คณิตศาสตร์ของฉันไป

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นมาพิจารณาเงื่อนไขของแทนเจนต์ถ้าขนานกับ # x #-แกน. ตั้งแต่ # x #-axis เป็นแนวนอนบรรทัดใด ๆ ที่ขนานกับมันจะต้องเป็นแนวนอนด้วย ดังนั้นจึงเป็นไปตามที่เส้นสัมผัสเป็นแนวนอน และแน่นอนว่าแทนเจนต์แนวนอนเกิดขึ้นเมื่ออนุพันธ์เท่ากับ #0#.

ดังนั้นก่อนอื่นเราจะต้องเริ่มต้นด้วยการหาอนุพันธ์ของสมการมหึมานี้ซึ่งสามารถทำได้ผ่านความแตกต่างโดยนัย:

# การ y = x ^ (x + x / y) #

# -> LNY = (x + x / y) LNX #

การใช้กฎผลรวมกฎลูกโซ่กฎผลิตภัณฑ์กฎความฉลาดทางและพีชคณิตเรามี:

# d / DX (LNY) = D / DX ((x + x / y) LNX) #

# -> DY / DX * 1 / การ y = (x + x / y) (LNX) + (x + x / y) (LNX) '#

# -> DY / DX * 1 / การ y = (x + x / y) (LNX) + (x + x / y) (LNX) '#

# -> DY / DX * 1 / การ y = (1 + (x'y-xdy / DX) / Y ^ 2) (LNX) + (x + x / y) (1 / x) #

# -> DY / DX * 1 / การ y = LNX + LNX ((y-xdy / DX) / Y ^ 2) + 1 + 1 / Y #

# -> DY / DX * 1 / การ y = LNX + LNX (1 / y- (xdy / DX) / Y ^ 2) + 1 + 1 / Y #

# -> DY / DX * 1 / การ y = LNX + (LNX) / y- (xlnxdy / DX) / Y ^ 2 + 1 + 1 / Y #

# -> DY / DX * 1 / Y + (xlnxdy / DX) / Y ^ 2 = LNX + (LNX) / Y + 1 + 1 / Y #

# -> DY / DX (1 / Y + (xlnx) / Y ^ 2) = LNX + (LNX) / Y + 1 + 1 / Y #

# -> DY / DX ((y + xlnx) / Y ^ 2) = LNX + (LNX) / Y + 1 + 1 / Y #

# -> DY / DX ((y + xlnx) / Y ^ 2) = (ylnx + LNX + 1 + y) y / #

# -> DY / DX = ((ylnx + LNX + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / Y ^ 2) #

# -> DY / DX = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + xlnx) #

ว้าว … นั่นรุนแรง ตอนนี้เราตั้งค่าอนุพันธ์เท่ากับ #0# และดูว่าเกิดอะไรขึ้น

# 0 = (y (ylnx + LNX + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + LNX + 1 + Y #

# -ylnx-Y = LNX + 1 #

# -y (LNX + 1) = LNX + 1 #

# y (LNX + 1) = - (LNX + 1) #

# y = (- (LNX + 1)) / (LNX + 1) #

# การ y = -1 #

น่าสนใจ ตอนนี้เรามาเสียบ # การ y = -1 # และดูสิ่งที่เราได้รับ # x #:

# การ y = x ^ (x (1 + 1 / y)) #

# -1 = x ^ (x (1 + 1 / -1)) #

# -1 = x ^ (x (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

เนื่องจากนี่เป็นข้อขัดแย้งเราจึงสรุปได้ว่าไม่มีคะแนนที่ตรงกับเงื่อนไขนี้

ตอบ:

ไม่มีการสัมผัสกันอยู่

คำอธิบาย:

#y = x ^ (x (1 + 1 / y)) equiv y ^ {y / (y + 1)} = x ^ x #. กำลังโทรหา #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # เรามี

#df = f_x dx + f_y dy = (บางส่วน u) / (บางส่วน x) dx + (บางส่วน v) / (บางส่วน y) dy = 0 # แล้วก็

# dy / dx = - ((บางส่วน u) / (บางส่วน x)) / ((บางส่วน v) / (บางส่วน y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e (y)) #

เรามาดูกันว่า # dy / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # แต่ค่าเหล่านั้นจะต้องตรวจสอบ:

#f (x, y_0) = 0 # และ

#f (x_0, y) = 0 #

ในกรณีแรก # y_0 = 1 # เรามี

# x ^ x = -1 # ซึ่งไม่สามารถเข้าถึงได้ในโดเมนจริง

ในกรณีที่สอง # x_0 = e ^ {- 1} # เรามี

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # หรือ

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

แต่

# y / (y + 1) log_e y> -1 # ดังนั้นจึงไม่มีทางออกที่แท้จริง

โดยสรุปแล้วไม่มีการสัมผัสกันดังกล่าว

ตอบ:

คำตอบจากดร. Cawa K, x = 1 / e นั้นแม่นยำ

คำอธิบาย:

ฉันเสนอคำถามนี้เพื่อให้ได้ค่านี้อย่างแม่นยำ ขอบคุณที่

ดร. Cawas สำหรับคำตอบที่เด็ดขาดที่อนุมัติการเปิดเผยว่า

ความแม่นยำสองเท่าของ y ยังคงเป็น 0 ในช่วงเวลานี้ y คือ

ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ที่ x = 1 / e เป็นทั้ง 17-sd double

ความแม่นยำ y และ y 'คือ 0 ในช่วงนี้ประมาณ x = 1 / e มันคือ a

การคาดเดาว่าแกน x จะแตะกับกราฟในระหว่างนั้น และตอนนี้ก็เป็น

ได้รับการพิสูจน์ ฉันคิดว่าการสัมผัสนั้นยอดเยี่ยม.