สมการแบบฟอร์มมาตรฐานของพาราโบลาที่มี directrix เป็น x = 5 และโฟกัสที่ (11, -7) คืออะไร?

ตอบ:

รูปแบบมาตรฐานคือ:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

คำอธิบาย:

เนื่องจาก directrix เป็นเส้นแนวตั้ง #x = 5 #จุดยอดสำหรับสมการของพาราโบลาคือ:

#x = 1 / (4f) (y-k) ^ 2 + h "1" #

โดยที่ (h, k) คือจุดยอดและ #f คือระยะทางแนวนอนที่ลงนามจากจุดสุดยอดไปยังจุดโฟกัส

เรารู้ว่าพิกัด y, k, ของจุดยอดนั้นเหมือนกับพิกัด y ของโฟกัส:

#k = -7 #

แทน -7 สำหรับ k เข้าสู่สมการ 1:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + h "2" #

เรารู้ว่าพิกัด x ของจุดยอดเป็นจุดกึ่งกลางระหว่างพิกัด x ของโฟกัสและพิกัด x ของ directrix:

# h = (x_ "focus" + x_ "directrix") / 2 #

# h = (11 + 5) / 2 #

#h = 16/2 #

#h = 8 #

แทน 8 สำหรับ h เป็นสมการ 2:

#x = 1 / (4f) (y - 7) ^ 2 + 8 "3" #

ระยะโฟกัสคือระยะทางแนวนอนที่ลงนามจากจุดสุดยอดไปยังโฟกัส:

#f = x_ "โฟกัส" -h #

#f = 11-8 #

#f = 3 #

แทน 3 สำหรับ f เป็นสมการ 3:

#x = 1 / (4 (3)) (y - 7) ^ 2 + 8 #

เราจะคูณตัวส่วนและเขียน - เป็น +

#x = 1/12 (y + 7) ^ 2 + 8 #

ขยายสแควร์:

#x = 1/12 (y ^ 2 + 14y + 49) + 8 #

แจกจ่าย #1/12#

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 49/12 + 8 #

รวมเงื่อนไขคงที่:

#x = 1 / 12y ^ 2 + 14 / 12y + 145/12 #

ตอบ:

# x y = ^ 2/12 + 7 / 6Y + 145/12 #

คำอธิบาย:

ไดเรกตริกซ์ # x = 5 #

โฟกัส #(11, -7)#

จากนี้เราสามารถค้นหาจุดสุดยอด

ดูแผนภาพ

Vertex อยู่ตรงระหว่าง Directrix และ Focus

# x, y = (5 + 11) / 2, (-7 + (-7)) / 2 = (8, -7) #

ระยะห่างระหว่างโฟกัสและจุดสุดยอดคือ A = # 3 #

พาราโบลาเปิดไปทางขวา

สมการของพาราโบลาที่นี่คือ -

# (y-k) ^ 2 = 4a (x-H) #

# (h, k) # คือจุดสุดยอด

# H = 8 #

# k = -7 #

เสียบเข้าไป # H = 8; k = -7 และ a = 3 # ในสมการ

# (y - (- 7)) ^ 2 = 4.3 (x-8) #

# (y + 7) ^ 2 = 4.3 (x-8) #

# 12x-96 y = ^ 2 + 14y + 49 # ตามทรานส

# 12x y = ^ 2 + 14y + 49 + 96 #

# 12x y = ^ 2 + 14y + 145 #

# x y = ^ 2/12 + 14 / 12y + 145/12 #

# x y = ^ 2/12 + 7 / 6Y + 145/12 #