ตอบ:
#3#
คำอธิบาย:
ปล่อย
# x = sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + OO … #
ที่เรา จำกัด วิธีแก้ปัญหาของเราให้เป็นเชิงบวกเนื่องจากเรารับเฉพาะสแควร์รูทที่เป็นบวกเท่านั้นเช่น # x> = 0 #. กำลังสองทั้งสองข้างมี
# x ^ 2 = 7 + sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + OO … #
# => x ^ 2-7 = sqrt (7-sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + OO … #
เมื่อเวลานี้เรา จำกัด ด้านซ้ายให้เป็นค่าบวกเนื่องจากเราต้องการรากที่สองที่เป็นบวกเท่านั้นเช่น
# x ^ 2-7> = 0 # #=># #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #
ที่ซึ่งเราได้ขจัดความเป็นไปได้ # x <= - sqrt (7) # ใช้ข้อ จำกัด แรกของเรา
กำลังสองอีกครั้งที่เรามี
# (x ^ 2-7) ^ 2 #=# 7 sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. OO #
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -sqrt (7 + sqrt (7-sqrt (7-sqrt (7 + …….. OO #
การแสดงออกในรากที่สองซ้ำแล้วซ้ำอีกคือการแสดงออกเดิมสำหรับ # x #ดังนั้น
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 = -x #
หรือ
# (x ^ 2-7) ^ 2-7 + x = 0 #
โซลูชันทดลองของสมการนี้คือ # x = -2 # และ # x = + 3 # ซึ่งผลลัพธ์ในการแยกตัวประกอบต่อไปนี้
# (x + 2) (x-3) (x ^ 2 + x-7) = 0 #
การใช้สูตรสมการกำลังสองกับปัจจัยที่สาม # (x ^ 2 + x-7) = 0 # ทำให้เรามีสองรากมากขึ้น:
# (- 1 + -sqrt (29)) / 2 ~ = 2.19 "และ" -3.19 #
ดังนั้นรากทั้งสี่ของพหุนามจึงเป็น #-3.19…, -2, 2.19…, # และ #3#. หนึ่งในค่าเหล่านี้เท่านั้นที่เป็นไปตามข้อ จำกัด ของเรา #x> = sqrt (7) ~ = 2.65 #ดังนั้น
# x = 3 #
ตอบ:
อีกวิธีหนึ่ง
คำอธิบาย:
ฉันชอบที่จะพูดคุยเกี่ยวกับวิธีที่ยุ่งยากในการแก้ไขปัญหาของรากที่สองที่ซ้ำ ๆ กันดังต่อไปนี้
# sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #)
ที่ไหน # r # เป็นของชุดต่อไปนี้
#3,7,13,21,31…………#คำทั่วไปที่ได้รับจาก
# ม ^ 2-m + 1 # ที่ไหน # m epsilon N # และ # นาที> 1 #
เคล็ดลับ
ถ้า 1 ถูกลบออกจาก Number ที่ระบุ # ม ^ 2-m + 1 # จำนวนผลลัพธ์จะกลายเป็น # ม ^ 2-M # ซึ่งเป็น # นาที (m-1) # และไม่มีอะไรนอกจากผลผลิตของสองหมายเลขติดต่อกันและใหญ่กว่าหนึ่งในสองเหล่านี้จะเป็นทางออกที่ไม่ซ้ำกันของปัญหา
เมื่อ r = # ม ^ 2-m + 1 # ปัจจัยของ # ม ^ 2-m + 1-1 # = # (m-1) ม. # และ m คือคำตอบ
เมื่อ r = 3 ตัวประกอบของ (3-1) = 2 = 1.2 และ 2 คือคำตอบ
เมื่อ r = 7 ตัวประกอบของ (7-1) = 6 = 2.3 และ 3 คือคำตอบ
และอื่น ๆ …….
คำอธิบาย
การ
# x = sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + sqrt) r-sqrt (r + …….. oo #
กำลังสองทั้งสองข้าง
# x ^ 2 = r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt) (r + sqrt) (r + …….. oo #
# x ^ 2- r = sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + …….. oo #)
กำลังสองทั้งสองข้างอีกครั้ง
# (x ^ 2- r) ^ 2 = r-sqrt (r + sqrt (r-sqrt (r + sqrt (r + sqrt (r + …….. oo #)
# (x ^ 2- r) ^ 2-r = -x #
# (x ^ 2- r) ^ 2-r + x = 0 #
วาง r = # ม ^ 2-m + 1 #
# (x ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + x = 0 #
ถ้าเราใส่ x = m ใน LHS ของสมการนี้ LHS จะกลายเป็น
LHS =
# (m ^ 2- (m ^ 2-m + 1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1) + m #
# = (ยกเลิก (m ^ 2) - ยกเลิก (m ^ 2) + m-1)) ^ 2- (m ^ 2-m + 1-m) #
# = (m-1)) ^ 2 (m-1) ^ 2 = 0 #
สมการมีความพึงพอใจ
ดังนั้น m คือคำตอบ
มาพูดกัน
# x = sqrt (7 + sqrt (7- ตารางเมตร (7 + sqrt (7-sqrt ….) #
เราสามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่า
#sqrt (7 + sqrt (7-x)) = x #
ลองแก้สมการกัน
# 7 + sqrt (7-x) = x ^ 2 #
#sqrt (7-x) = x ^ 2-7 #
# 7 x = (x ^ 2-7) ^ 2 = x ^ 4-14x ^ 2 + 49 #
# x ^ 4-14x ^ 2 + x + 42 = 0 #
นี่ไม่ใช่สมการที่ต้องแก้ไข อีกคนหนึ่งที่ตอบคำถามนั้นเรียกวิธีแก้ปัญหา 3 ถ้าคุณลองคุณจะเห็นว่ามันเป็นเรื่องจริง
