F (x) = int xe ^ (2-x) + 3x ^ 2 dx ถ้า f (0) = 1 คืออะไร

ตอบ:

# -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + E ^ 2 #

คำอธิบาย:

เริ่มต้นด้วยการใช้กฎผลรวมสำหรับอินทิกรัลและแยกออกเป็นสองอินทิกรัลแยกกัน:

# intxe ^ (2-x) DX + int3x ^ 2DX #

มินิอินทิกรัลตัวแรกถูกแก้ไขโดยใช้การรวมเข้าด้วยกันเป็นส่วน ๆ:

ปล่อย # U = x -> (du) / DX = 1-> du = DX #

# DV = ^ E (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = ^ -e (2-x) #

ตอนนี้ใช้การรวมโดยสูตรชิ้นส่วน # intudv = UV-intvdu #, เรามี:

# intxe ^ (2-x) DX = (x) (- e ^ (2-x)) - int (e-^ (2-x)) DX #

# = - XE ^ (2-x) + inte ^ (2-x) DX #

# = - XE ^ (2-x) -e ^ (2-x) #

สิ่งที่สองเหล่านี้เป็นกรณีของกฎกำลังถอยหลังซึ่งระบุว่า:

# INTX ^ NDX = (x ^ (n + 1)) / (1 + n) #

ดังนั้น # int3x ^ 2DX = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #

ดังนั้น, # intxe ^ (2-x) + 3x ^ = 2DX -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (อย่าลืมเพิ่มค่าคงที่ของการรวมกลุ่ม!)

เราจะได้รับเงื่อนไขเริ่มต้น # f (0) = 1 #ดังนั้น:

# 1 = - (0) จ ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #

# 1 = -e ^ 2 + C #

# C = 1 + E ^ 2 #

เมื่อทำการทดแทนสุดท้ายนี้เราได้คำตอบสุดท้าย:

# intxe ^ (2-x) + 3x ^ = 2DX -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + E ^ 2 #