คำถาม # e8044

ตอบ:

#color (สีน้ำเงิน) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#color (สีฟ้า) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

คำอธิบาย:

จากที่ได้รับ #int (1 / (1 + cot x)) dx #

หากการรวมกันเป็นฟังก์ชันที่มีเหตุผลของฟังก์ชันตรีโกณมิติการแทนที่ # z = tan (x / 2) #หรือสิ่งที่เทียบเท่า

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # และ #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # และ

# DX = (2DZ) / (1 + Z ^ 2) #

การแก้ไขปัญหา:

#int (1 / (1 + cot x)) dx #

#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #

#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) * () 2DZ) / (1 + Z ^ 2)) #

ลดความซับซ้อน

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) * () 2DZ) / (1 + Z ^ 2)) #

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

ณ จุดนี้ให้ใช้เศษส่วนบางส่วนจากนั้นจึงรวมเข้าด้วยกัน

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (Z ^ 2-2z-1)) DZ #

เราทำเศษส่วนบางส่วนก่อน

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2- 2Z-1) #

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) (z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2 +1)) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) #

ขยายด้านขวาของสมการ

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# (Az ^ 3-2Az ^ 2 + Az Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) #

ตั้งค่าสมการ

# (0 * Z ^ 3 + 0 * Z ^ 2-4 * Z + 0 * Z ^ 0) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) = #

# ((A + C) * Z ^ 3 + (- 2A + B + D) * Z ^ 2 + (- A-2B + C) * Z + (- B + D) * Z ^ 0) / ((Z ^ 2 + 1) (Z ^ 2-2z-1)) #

สมการคือ

# A + C = 0 #

# -2A + B + D = 0 #

# -A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

ผลการแก้ปัญหาพร้อมกันเพื่อ

# A = 1 # และ # B = 1 # และ # C = -1 # และ # D = 1 #

ตอนนี้เราสามารถทำการรวม

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (- z + 1) / (z ^ 2-2z-1)) dz = #

# 1/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1) -1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2-2z-1) dz #

# = 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# = 1/2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

เราจะคืนค่ากลับเป็นตัวแปรดั้งเดิม # x # การใช้ # z = tan (x / 2) # สำหรับคำตอบสุดท้าย

#color (สีน้ำเงิน) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#color (สีฟ้า) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

ที่ไหน # K = # ค่าคงที่ของการรวมกลุ่ม

ขอพระเจ้าอวยพร … ฉันหวังว่าคำอธิบายจะเป็นประโยชน์