คุณคำนึงถึง x ^ 6-2x ^ 3 + 1 อย่างไร

# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # เป็นของแบบฟอร์ม # Y ^ 2-2y + 1 # ที่ไหน #y = x ^ 3 #.

สูตรสมการกำลังสองนี้ใน # Y # ปัจจัยดังต่อไปนี้:

# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #

ดังนั้น # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #

# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #

ดังนั้น # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #

# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 + x + 1 # ไม่มีปัจจัยเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์จริง เพื่อตรวจสอบประกาศนี้ว่าเป็นของแบบฟอร์ม # axe ^ 2 + bx + c #ซึ่งมีการเลือกปฏิบัติ:

#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #

สมการที่เป็นลบ # x ^ 2 + x + 1 = 0 # ไม่มีรากที่แท้จริง

วิธีหนึ่งในการตรวจสอบคำตอบคือการแทนที่ค่า # x # นั่นไม่ใช่รูทเข้าทั้งสองข้างและดูว่าเราได้ผลลัพธ์เดียวกันหรือไม่:

ลอง # x = 2 #:

# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #

# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #

เปรียบเทียบ:

# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #

#1^2*7^2=49#

ดีที่ทำงานได้!

# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # ค่อนข้างง่ายที่จะแยกตัวประกอบเพราะมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ ฉันจะรู้สิ่งนี้ได้อย่างไร มันเป็นแบบไตรนามในรูปแบบ # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #และ trinomials ทั้งหมดในรูปแบบนั้นเป็นสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ

trinomial นี้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบ # (x ^ 3 - 1) #. เพื่อตรวจสอบงานของฉันฉันจะทำงานย้อนหลัง:

# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #

# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #

# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #

ดังนั้น trinomial นี้มีปัจจัย #1#, # x ^ 3 - 1 #และ # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.

อย่างไรก็ตามตามที่ได้รับการชี้ให้เห็นถึงฉัน # (x ^ 3 - 1) # ยังมีปัจจัย เนื่องจากมันเป็นทวินามของรูปแบบ # a ^ 3 - b ^ 3 #มันยังสามารถเขียนเป็น # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.

ดังนั้น, # (x ^ 3 - 1) # ปัจจัยเข้ามา # (x - 1) # และ # (x ^ 2 + x + 1) #ซึ่งทั้งคู่เป็นนายก

ปัจจัยของ # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # คือ:

#1#

# x-1 #

# x ^ 2 + x + 1 #

# x ^ 3 - 1 #

# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #

โดยเฉพาะอย่างยิ่งการแยกตัวประกอบของ PRIME ของ # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # คือ:

# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #