อินเวอร์สของ y = 3ln (5x) + x ^ 3 คืออะไร?

ตอบ:

#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #

คำอธิบาย:

ปล่อย #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #

ให้เราสมมติว่าเรากำลังจัดการกับค่าจริงและดังนั้นลอการิทึมธรรมชาติที่แท้จริง

จากนั้นเราถูก จำกัด ให้ #x> 0 # เพื่อที่ #ln (5x) # กำหนดไว้

สำหรับคนใด #x> 0 # คำศัพท์ทั้งสองมีการกำหนดที่ดีและอื่น ๆ # f (x) # เป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้อย่างดีกับโดเมน # (0, oo) #.

สังเกตได้ว่า # 3LN (5) # และ # x ^ 3 # มีการเพิ่มขึ้นอย่างเดียวในโดเมนนี้ดังนั้นฟังก์ชันของเราก็เช่นกันและเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง

สำหรับค่าบวกเล็กน้อยของ # x #ระยะ # x ^ 3 # มีขนาดเล็กและเป็นบวกและเป็นคำ # 3LN (5x) # มีขนาดใหญ่และลบโดยพลการ

สำหรับค่าบวกขนาดใหญ่ของ # x #ระยะ # 3LN (5x) # เป็นบวกและเป็นคำศัพท์ # x ^ 3 # มีขนาดใหญ่และเป็นบวกโดยพลการ

เนื่องจากฟังก์ชั่นนี้ยังต่อเนื่องช่วงคือ # (- oo, oo) #

ดังนั้นสำหรับค่าใด ๆ ของ #y ใน (-oo, oo) # มีคุณค่าที่เป็นเอกลักษณ์ของ #x ใน (0, oo) # ดังนั้น #f (x) = y #.

สิ่งนี้นิยามฟังก์ชันผกผันของเรา:

#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #

นั่นคือ # f ^ (- 1) (y) # คือค่าของ # x # ดังนั้น #f (x) = y #.

เราได้แสดง (อย่างไม่เป็นทางการ) ว่าสิ่งนี้มีอยู่ แต่ไม่มีวิธีแก้ปัญหาพีชคณิตสำหรับ # x # ในแง่ของ # Y #.

กราฟของ # f ^ (- 1) (y) # เป็นกราฟของ # f (x) # สะท้อนในบรรทัด # การ y = x #.

ในชุดสัญลักษณ์:

#f = {(x, y) ใน (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #

#f ^ (- 1) = {(x, y) ใน RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #