ผู้ช่วยวิจัยทำโซเดียมกัมมันตรังสี 160 มก. (Na ^ 24) และพบว่าเหลือ 20 มก. ในเวลาเพียง 20 มก. ในเวลาต่อมา 20 ชั่วโมงเหลือ 20 มก. ใน 12 ชั่วโมงเท่าไหร่?

ตอบ:

#=11.49# mg จะถูกทิ้งไว้

คำอธิบาย:

ปล่อยให้อัตราการสลายตัวเป็น # x # ต่อชั่วโมง

ดังนั้นเราสามารถเขียน

# 160 (x) ^ 45 = 20 #

หรือ

# x ^ 45 = 20/160 #

หรือ

# x ^ 45 = 8/1 #

หรือ

# x = root45 (1/8) #

หรือ

# x = 0.955 #

ในทำนองเดียวกันหลังจาก #12# ชั่วโมง

#20(0.955)^12#

#=20(0.57)#

#=11.49# mg จะถูกทิ้งไว้

ตอบ:

เพียงใช้รูปแบบการสลายตัวของกัมมันตภาพรังสีทั่วไปเป็นวิธีทางเลือกเล็กน้อย

หลังจาก 12 ชม. เรามี 11.49 มก

คำอธิบาย:

ปล่อย #Q (t) # แสดงจำนวนโซเดียมที่มีอยู่ในเวลา # เสื้อ #. ที่ # t = 0, Q = Q_0 #

มันเป็นแบบจำลองที่ค่อนข้างง่ายในการแก้ปัญหาด้วย ODE แต่เนื่องจากมันไม่เกี่ยวข้องกับคำถามจริงๆเราจึงจบลงด้วย

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) # ที่ไหน # k # เป็นอัตราคงที่

ก่อนอื่นเราจะพบคุณค่าของ # k #

# Q_0 = 160mg, Q (45) = 20mg #

#Q (45) = 20 = 160e ^ (- 45k) #

#therefore 1/8 = e ^ (- 45k) #

จดบันทึกธรรมชาติของทั้งสองด้าน:

#ln (1/8) = -ln (8) = -45k #

# k = (ln (8)) / 45 ชม. ^ (- 1) #

#therefore Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (8)) / 45t) #

ดังนั้นเริ่มต้นด้วย # Q_0 = 20 มก. #

#Q (12) = 20e ^ (- (ln (8)) / 45 * 12) = 11.49mg #