ครึ่งชีวิตของ (Na ^ 24) คืออะไรหากผู้ช่วยวิจัยทำโซเดียมกัมมันตรังสี 160 มก. (Na ^ 24) และพบว่ามีเหลือเพียง 20 มก. ในเวลาต่อมา 20 นาที

ตอบ:

#color (blue) ("ครึ่งชีวิตคือ 15 ชั่วโมง") #

คำอธิบาย:

เราจำเป็นต้องหาสมการของแบบฟอร์ม:

รุ่น A (t) = A (0) จ ^ (KT) #

ที่ไหน:

#bb (A (t)) = # จำนวนหลังจากเวลา t

#bb (A (0) = # จำนวนเงินที่เริ่มต้น เช่น t = 0

# bbk = # ปัจจัยการเจริญเติบโต / การสลายตัว

# BBE = # หมายเลขของออยเลอร์

# BBT = # เวลาในกรณีนี้ชั่วโมง

เราได้รับ:

รุ่น A (0) = 160 #

รุ่น A (45) = 20 #

เราต้องแก้หา # bbk #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

หารด้วย 160:

# 8/1 = E ^ (45k) #

จดลอการิทึมธรรมชาติของทั้งสองฝ่าย:

#ln (1/8) = 45kln (จ) #

#ln (จ) = 1 #

ดังนั้น:

#ln (1/8) = 45k #

หารด้วย 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

รุ่น A (t) = ^ 160E (t (LN (1/8) / 45)) #

รุ่น A (t) = ^ 160E (t / 45 (LN (1/8)) #

รุ่น A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

เนื่องจากความหมายครึ่งชีวิตคือช่วงเวลาเมื่อเรามีครึ่งหนึ่งของจำนวนเริ่มต้น:

รุ่น A (t) = 80 #

ดังนั้นเราต้องแก้หา t ใน:

# 160 = 80 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

จดลอการิทึมธรรมชาติ:

#ln (1/2) = T / 45ln (1/8) #

# 45 * (LN (1/2)) / (LN (1/8)) = t = 15 #

ครึ่งชีวิตคือ 15 ชั่วโมง

ตอบ:

15 ชั่วโมง

คำอธิบาย:

• วิธีที่รวดเร็ว

เมื่อปริมาณของสารสลายตัวลดลงครึ่งหนึ่ง แต่ละ half-life (ชื่อนี้) การลดจำนวนขั้นตอนลงครึ่งหนึ่งต้องใช้ 3 ขั้นตอนในการรับจาก 160 เป็น 20:

• # 160 ถึง 80 ถึง 40 ถึง 20 #

และ #45 = 3 * 15#

ดังนั้นครึ่งชีวิตคือ 15 ปี

• วิธีที่เป็นทางการมากขึ้น

สำหรับครึ่งชีวิต # # เอกภาพที่ไหน # X (t) # คือจำนวน (มวล / จำนวนอนุภาค / ฯลฯ) ที่เหลือในเวลา t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad square #

ดังนั้น:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

การเสียบค่าที่กำหนดให้ # # ตาราง:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 หมายถึง tau = 15 #