ตอบ:
สารละลาย: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) #
คำอธิบาย:
# 10 cos x +13 cos (x / 2) = 5; cos x = 2 cos ^ 2 (x / 2) -1 # หรือ
# 10 (2 cos ^ 2 (x / 2) -1) +13 cos (x / 2) -5 = 0 #
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +13 cos (x / 2) -15 = 0 # หรือ
# 20 cos ^ 2 (x / 2) +25 cos (x / 2) - 12 cos (x / 2) -15 = 0 # หรือ
# 5 cos (x / 2) (4 cos (x / 2) +5) -3 (4 cos (x / 2) +5) = 0 # หรือ
# (4 cos (x / 2) +5) (5 cos (x / 2) -3) = 0:. # ทั้ง
# (4 cos (x / 2) +5) = 0 หรือ (5 cos (x / 2) -3) = 0 #
# (4 cos (x / 2) +5) = 0: 4 cos (x / 2) = - 5 # หรือ
# cos (x / 2)! = 5/4 # ตั้งแต่ช่วง #cos x # คือ #-1,1#
# (5 cos (x / 2) -3) = 0: 5 cos (x / 2) = 3 # หรือ
#cos (x / 2) = 3/5: x / 2 = cos ^ -1 (3/5) ~~ 53.13 ^ 0 #
ด้วย #cos (-53.13) ~~ 3/5: x = 53.13 * 2 ~~ 106.26 ^ 0 #
และ # x = (-53.13) * 2 ~~ -106.26 ^ 0 #
สารละลาย: # (x ~~ 106.26 ^ 0, x ~~ -106.26 ^ 0) # ตอบ
ตอบ:
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # จำนวนเต็ม # k #
คำอธิบาย:
เริ่มจากการทดแทนกันก่อน # y = x / 2 # เพื่อกำจัดมุมที่เป็นเศษส่วน
# 10 cos (2y) + 13 cos y = 5 #
รูปแบบที่โปรดปรานของสูตรโคไซน์สองมุมคือ
#cos (2y) = 2 cos ^ 2 y -1 #
แทน, # 10 (2 cos ^ 2 y - 1) + 13 cos y - 5 = 0 #
# 20 cos ^ 2y + 13 cos y - 15 = 0 #
นั่นเป็นปัจจัยที่เจ็บปวด แต่ก็มีการค้นหาเล็กน้อย
# (5 cos y - 3) (4 cos y + 5) = 0 #
#cos y = 3/5 หรือ cos y = -5 / 4 #
เราสามารถละเว้นโคไซน์นอกขอบเขต
#cos y = 3/5 #
เราสามารถใช้สูตร double angle:
#cos x = cos (2y) = 2 cos ^ 2 y - 1 = 2 (3/5) ^ 2-1 = -7 / 25 #
# x = arccos (-7/25) #
นั่นเป็นทฤษฏีพีทาโกรัส #7^2+24^2=25^2# ดังนั้นเราสามารถลองเขียนมันเป็น # arctan (pm 24/7) # แต่นั่นเป็นรากนอกอื่น ๆ
# x = pm arccos (-7/25) + 2 pi k quad # จำนวนเต็ม # k #
ตรวจสอบ:
เราจะตรวจสอบคู่ด้วยเครื่องคิดเลข
# x = ข้อความ {Arc} ข้อความ {cos} (- 7/25) ประมาณ 106.260205 ^ circ #
# 10 cos (106.260205) +13 cos (106.260205 / 2) -5 = -7 คูณ 10 ^ {- 8} quad sqrt #
ลองเพิ่ม 360 และตรวจสอบอีกครั้ง:
# 10 cos (360 + 106.260205) + 13 cos ((360 + 106.260205 / 2)) -5 = -15.6 ควอด # ไม่ทำงาน
เนื่องจากครึ่งมุมคำตอบที่ถูกต้องน่าจะเป็น
# x = pm arccos (-7/25) + 4 pi k quad # จำนวนเต็ม # k #
