ราก {x_i}, i = 1,2,3, ... , 6 จาก x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 เป็นเช่นนั้นทุก ๆ x_i = 1 คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าถ้า b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5? มิฉะนั้น b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?

$ราก {x_i}, i = 1,2,3, ... , 6 จาก x ^ 6 + ax ^ 3 + b = 0 เป็นเช่นนั้นทุก ๆ x_i = 1 คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าถ้า b ^ 2-a ^ 2> = 1, a ^ 2-3 <= b ^ 2 <= a ^ 2 + 5? มิฉะนั้น b ^ 2-5 <= a ^ 2 <= b ^ 2 + 3?$

ตอบ:

แต่คำตอบคือ # {(a, b)} = {(+ - 2, 1) (0, + -1)} # และสมการที่สอดคล้องกันคือ # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 และ x ^ 6 + -1 = 0 #.

คำอธิบาย:

คำตอบที่ดีจาก Cesereo R ทำให้ฉันสามารถแก้ไขได้

เวอร์ชันก่อนหน้าของฉันเพื่อให้ตอบถูก

แบบฟอร์ม # x = r e ^ (i theta) # สามารถแสดงได้ทั้งจริงและซับซ้อน

ราก. ในกรณีของรากที่แท้จริง x, r = | x |., เห็นด้วย! ให้เราดำเนินการต่อไป

ในรูปแบบนี้ด้วย r = 1 สมการแยกออกเป็นสองสมการ

#cos 6theta + a cos 3theta + b = 0 # …(1)

และ

# sin 6 theta + a sin 3 theta = 0 #… (2)

เพื่อความอุ่นใจเลือก (3) ก่อนและใช้งาน #sin 6theta = 2 sin 3theta cos 3theta #. มันให้

#sin 3theta (2 cos 3theta + a) = 0 #ด้วยโซลูชั่น

#sin 3theta = 0 ถึง theta = k / 3pi, k = 0, + -1, + -2, + -3, … # …(3)

และ

# cos 3theta = -a / 2 ถึง theta = (1/3) (2kpi + -cos ^ (- 1) (- a / 2)) #, กับ k เหมือนก่อน … (4)

ที่นี่ # | cos 3theta | = | -a / 2 | <= 1 ถึง a ใน -2, 2 # … (5)

(3) ลด (1) ถึง

# 1 + -a + b = 0 # … (6)

การใช้ #cos 6theta = 2 cos ^ 2 3theta-1 #, (4) ลด (1) ถึง

# 2 (-a / 2) ^ 2-1-a ^ 2/2 + b = 0 ถึง b = 1 #… (7)

ตอนนี้จาก (6) # a = + -2 #

ดังนั้นค่า (a, b) คือ (+ -2, 1)..

สมการที่สอดคล้องกันคือ # (x ^ 3 + -1) ^ 2 = 0 และ (x ^ 6 + 1) = 0 #

แต่นี่ไม่ใช่การรับทราบอย่างเต็มที่กับค่านิยมของ Cesareo สำหรับ (a,) ฉันคิดว่าฉันต้องทบทวนคำตอบของฉันอีกครั้งพิจารณา (4) และ (6) ด้วยกันเมื่อตั้งค่า = 0, b = - 1. ง่ายต่อการตรวจสอบว่า # (a, b) = (0, -1) #เป็นวิธีแก้ปัญหาและสมการที่สอดคล้องกันคือ # x ^ 6-1 = 0 #มีสองรากแท้ #+-1#. ที่นี่ # 6 theta = (4k-1) pi และ cos 6theta = -1 #และดังนั้น (6) กลายเป็น b = 1 เมื่อ a = 0 ด้วย คุณถูก 100%, Cesareo ขอบคุณ.

คำตอบที่สมบูรณ์ครบถ้วนตามที่ป้อนในกล่องคำตอบ

หมายเหตุ: นี่เป็นอีกเรื่องหนึ่งอย่างไรก็ตามฉันจะจำและทำคำชี้แจงเกี่ยวกับวิธีการตั้งค่าความไม่เท่าเทียมกันในคำถามปัจจุบันโดยเร็วที่สุด

โชคไม่ดีที่การเขียนเรื่องนี้ของฉันไปที่ถังขยะ ถ้าคำตอบนี้ถูกต้อง แต่ไม่ใช่อย่างนั้นฉัน #เสียใจ# สำหรับเดียวกัน ฉันต้องเปลี่ยนคำถามสำหรับคำตอบนี้ ฉันคิดว่าเร็ว แต่ไม่ได้พิมพ์ซิงค์กับความคิด ข้อบกพร่องฝังอยู่ในความคิดของฉัน

ฉันคาดหวังว่านักประสาทวิทยาจะรับรองคำอธิบายของฉันสำหรับรายการข้อบกพร่องในการทำงานอย่างหนักของเรา..

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

สมมติว่า # {a, b} ใน RR # เรามีสิ่งนั้น #b = pm1 #

เพราะ #b = Pix_i #. ตอนนี้ทำ #y = x ^ 3 # เรามี

# Y ^ 2 + aypm1 = 0 # และการแก้เพื่อ # Y #

#y = - (a / 2) pmsqrt ((a / 2) ^ 2- (pm1)) # แต่

# absy = เอบีเอส (- (ก / 2) pmsqrt ((ก / 2) ^ 2- (PM1))) = 1 #

การแก้เพื่อ # A # เรามี # A = {0, -2,2} #

สมการ # x ^ 6 + ขวาน ^ 3 + B = 0 # เทียบเท่ากับหนึ่งในความเป็นไปได้

# x ^ 6 + a_0x ^ 3 + b_0 = 0 #

กับ

# a_0 = {- 2,0,2} #

# b_0 = {- 1,1} #