ตอบ:
B
คำอธิบาย:
อันดับแรกเราควรใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขจะต้องต่อเนื่องกันโดยโทรไปยังหมายเลขที่เราเลือกให้เป็น # n-1, N, N + 1 #ที่ถ้าเราปฏิบัติตามข้อ จำกัด # n # ต้องอยู่ระหว่าง #-9# และ #9# รวมทั้ง
ประการที่สองสังเกตว่าถ้าเราได้รับค่าที่แน่นอนสำหรับเฉพาะ # A, B, C #เราสามารถสลับค่าเหล่านั้นได้ แต่ก็ยังได้ผลลัพธ์เหมือนเดิม (ฉันเชื่อว่าสิ่งนี้เรียกว่าการอนุญาต แต่ลืมคำที่เหมาะสม)
ดังนั้นเราสามารถให้ # A = n-1 #,# ข n = #,# c = 1 + n #ตอนนี้เราเสียบสิ่งนี้ใน:
# (ก ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 + 3abc) / (A + B + C) ^ 2 #
# = ((n-1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + 1 + n) ^ 2 #
# = (n ^ 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 ^ n + 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #
# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 ^ n + 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9N ^ 2) #
# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9N ^ 2) #
# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #
ตอนนี้ปัญหาของเรากลายเป็นสิ่งที่เห็นคุณค่าของ # -9 <= n <= 9 # การแสดงออกให้ค่าจำนวนเต็มจำนวนที่แตกต่างกันที่เราได้รับ
ฉันจะแก้ปัญหาต่อไปในคำตอบแยกต่างหากเพื่อให้อ่านง่ายขึ้น
ตอบ:
ส่วนที่ 2 ของโซลของฉัน สิ่งนี้จะใช้เลขคณิตแบบโมดูลาร์ แต่ถ้าคุณไม่คุ้นเคยมันก็มีตัวเลือกของการซับในค่าที่จำเป็นทั้งหมดของ # n #
คำอธิบาย:
เนื่องจากนิพจน์ต้องเป็นค่าจำนวนเต็มด้านล่างจึงต้องหารด้านบนอย่างแน่นอน ดังนั้นตัวเศษควรมี 3 และสำหรับนี้เราควรใช้เลขคณิตแบบแยกส่วน
ตรวจสอบว่า n ตรงกับใด: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #
# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #
# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #
# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #
ตอนนี้ casework:
1. เราลอง # n = 3k #
# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #
# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #ซึ่งไม่ทำงาน
2. เราลอง # n = 3k + 1 #
# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #
# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #
# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 1 + 3k #
# - = 2 - = - 1 mod3 #ซึ่งใช้งานได้
3. เราลอง # n = 3k-1 #:
# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #
# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #
#-=-2-=1#ซึ่งไม่ทำงาน
ดังนั้นเราจึงอนุมานได้ว่า # n # จะต้องอยู่ในรูปแบบ # 3k + 1 #หรือมากกว่าหนึ่งในสามของ 3 พิจารณาช่วงของเราสำหรับ n กำลัง # -9 <= n <= 9 #เรามีค่าที่เป็นไปได้ของ:
# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.
ณ จุดนี้คุณอาจใช้ความจริงที่ว่า # n = 3k + 1 #แต่มีเพียง 6 ค่าที่จะตรวจสอบฉันตัดสินใจที่จะคำนวณแทนแต่ละค่าแทนและค่าเฉพาะสำหรับ # n # ที่ได้ผลคือ # n = 1 #ผลิตผลของ #1#.
ดังนั้นในที่สุดชุดตัวเลขต่อเนื่องเพียงชุดเดียวที่สร้างผลลัพธ์จำนวนเต็มคือ #0,1,2#ให้ #1# ดังนั้นคำตอบคือ # B #
