อะไรคือความเร็วของกราฟในทันที?

หากกราฟมีระยะทางเป็นฟังก์ชันของเวลาความชันของเส้นสัมผัสกับฟังก์ชัน ณ จุดใดจุดหนึ่งจะแสดงถึงความเร็วในทันที ณ จุดนั้น

เพื่อให้ได้แนวคิดเกี่ยวกับความชันนี้เราต้องใช้ ขีด จำกัด ยกตัวอย่างเช่นสมมติว่าหนึ่งได้รับฟังก์ชั่นระยะทาง #x = f (t) #และหนึ่งต้องการที่จะหาความเร็วทันทีหรืออัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง ณ จุดนั้น # p_0 = (t_0, f (t_0)) #มันจะช่วยในการตรวจสอบจุดอื่นที่อยู่ใกล้เคียงก่อน # p_1 = (t_0 + a, f (t_0 + a)) #ที่ไหน # A # มีค่าคงตัวเล็ก ๆ น้อย ๆ ตามอำเภอใจ ความชันของ เส้นตัดขวาง ผ่านกราฟที่จุดเหล่านี้คือ:

# f (t_0 + A) -f (t_0) / a #

เช่น # P_1 # วิธีการ # p_0 # (ซึ่งจะเกิดขึ้นเป็นของเรา # A # ลดลง) ด้านบนของเรา #difference quotient # จะเข้าใกล้ขีด จำกัด กำหนดไว้ที่นี่ # L #ซึ่งเป็นความชันของเส้นสัมผัสที่จุดที่กำหนด ณ จุดนั้นสมการความชันจุดโดยใช้จุดด้านบนของเราสามารถให้สมการที่แม่นยำยิ่งขึ้น

หากใครคนหนึ่งคุ้นเคยกับ การเปลี่ยนแปลงและฟังก์ชั่นมีทั้งต่อเนื่องและแตกต่างกันตามมูลค่าที่กำหนด # เสื้อ #จากนั้นเราก็สามารถแยกความแตกต่างฟังก์ชั่น ระบุว่าฟังก์ชั่นระยะทางมากที่สุดคือ ฟังก์ชันพหุนามของแบบฟอร์ม #x = f (t) = ที่ ^ n + bt ^ (n-1) + ct ^ (n-2) + … + yt + z, # สิ่งเหล่านี้สามารถสร้างความแตกต่างโดยใช้ กฎพลังงาน ซึ่งระบุว่าสำหรับฟังก์ชั่น #f (t) = ที่ ^ n, (df) / dt # (หรือ # f '(t) #) = # (n) ที่ ^ (n-1) #.

ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันพหุนามทั่วไปของเราด้านบน #x '= f' (t) = (n) ที่ ^ (n-1) + (n-1) bt ^ (n-2) + (n-2) ct ^ (n-3) + … + y # (โปรดทราบว่าตั้งแต่ #t = t ^ 1 # (ตามจำนวนใด ๆ ที่ยกกำลังแรกเท่ากับตัวเอง) การลดพลังงานโดย 1 ทำให้เราทิ้ง # t ^ 0 = 1 #ดังนั้นทำไมระยะสุดท้ายจึงเป็นเพียง # Y #. ทราบด้วยว่าของเรา # Z # คำที่เป็นค่าคงที่ไม่ได้เปลี่ยนไปด้วยความเคารพ # เสื้อ # และถูกยกเลิกไปในความแตกต่าง)

นี้ # f '(t) # คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันระยะทางเทียบกับเวลา ดังนั้นมันจะวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทางด้วยความเคารพต่อเวลาซึ่งเป็นเพียงความเร็ว