ความยาวของบันไดคืออะไรถ้าหากมีความยาวของบันได L ถือในแนวนอนโดยรอบจากห้องโถงกว้าง 3 ฟุตเข้าไปในห้องโถงกว้าง 4 ฟุต?

พิจารณาส่วนของเส้นที่วิ่งจาก # (x, 0) # ไปยัง # (0, y) # ผ่านมุมภายในที่ #(4,3)#.

ความยาวต่ำสุดของส่วนของเส้นนี้จะเป็นความยาวสูงสุดของบันไดที่สามารถเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ มุมนี้ได้

สมมติว่า # x # อยู่นอกเหนือ #(4,0)# โดยปัจจัยการปรับ # s #จาก 4 ดังนั้น

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

ดูสำหรับ # (1 + S) # แสดงขึ้นมาในภายหลังเพื่อเป็นค่าที่จะแยกออกจากบางสิ่งบางอย่าง

ด้วยรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันเราจะเห็นได้ว่า

#y = 3 (1 + 1 / s) #

โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราสามารถแสดงความยาวของส่วนของเส้นตรงเป็นฟังก์ชันได้ # s #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

โดยปกติเราจะหาอนุพันธ์ของ L (s) เพื่อหาค่าต่ำสุด แต่ในกรณีนี้มันง่ายกว่าที่จะหาอนุพันธ์ของ # L ^ 2 (s) #.

(โปรดสังเกตว่าถ้า #L (s) # เป็นขั้นต่ำเป็น # s = s_0 #จากนั้น # L ^ 2 (s) # จะต้องเป็นขั้นต่ำที่ # s = s_0 #.)

การหาอนุพันธ์อันดับแรกของ # L ^ 2 (s) # และตั้งค่าเป็นศูนย์เราจะได้รับ:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

คูณด้วย # s ^ 3 # แล้วแยกตัวออก # 2 (1 + s) #

ช่วยให้เราแก้ปัญหาได้ # s #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

การเสียบค่านี้กลับเข้าไปในสมการ # L ^ 2 (s) # และรับสแควร์รูท (ฉันใช้สเปรดชีต) เราได้

ความยาวสูงสุดของบันได # = 9.87 ฟุต # (ประมาณ.)