จำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุด x คืออะไรซึ่งค่า f (x) = 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9 จะมากกว่าค่าของ g (x) = 3 ^ x

ตอบ:

# x = 9 #

คำอธิบาย:

เรากำลังมองหาจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุดโดยที่:

# f (x)> g (x) #

# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9> 3 ^ x #

มีหลายวิธีที่เราสามารถทำได้ หนึ่งคือการลองจำนวนเต็ม ในฐานะพื้นฐานลองมาดูกัน # x = 0 #:

#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#

#0+0+9>1#

และเรารู้เรื่องนั้น # x # มีค่าอย่างน้อย 0 ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องทดสอบจำนวนเต็มลบ

เราจะเห็นว่าพลังที่ใหญ่ที่สุดทางซ้ายคือ 4 ลองดู # x = 4 # และดูว่าเกิดอะไรขึ้น:

#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#

#5(256)+30(4)^2+9>81#

ฉันจะระงับคณิตศาสตร์ที่เหลือ - มันชัดเจนว่าด้านซ้ายใหญ่กว่าด้วยจำนวนที่มาก งั้นลองดู # x = 10 #

#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#

#5(10000)+30(100)+9>59049#

#50000+3000+9>59049#

ดังนั้น # x = 10 # ใหญ่เกินไป ฉันคิดว่าคำตอบของเราจะเป็น 9. ลองตรวจสอบ:

#5(6561)+30(81)+9>19683#

#32805+30(81)+9>19683#

และอีกครั้งมันชัดเจนว่าด้านซ้ายใหญ่กว่าด้านขวา ดังนั้นคำตอบสุดท้ายของเราคือ # x = 9 #.

วิธีอื่นในการค้นหาสิ่งนี้มีอะไรบ้าง เราอาจลองทำกราฟ ถ้าเราแสดงสิ่งนี้เป็น # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x = 0 #เราได้กราฟที่มีลักษณะดังนี้:

กราฟ {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0, 11, -10000, 20000}

และเราจะเห็นได้ว่าคำตอบนั้นอยู่ใกล้ ๆ # x = 8.5 # เครื่องหมายยังคงเป็นบวกที่ # x = 9 # และให้ผลลบก่อนถึง # x = 10 # - การทำ # x = 9 # จำนวนเต็มที่มากที่สุด

เราจะทำอย่างอื่นได้อีก? เราสามารถแก้ปัญหาได้ # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x> 0 # พีชคณิต

# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9-3 ^ x> 0 #

เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้นฉันจะสังเกตว่าเป็นค่าของ # x # เพิ่มขึ้นคำศัพท์ด้านซ้ายเริ่มไม่เกี่ยวข้อง ครั้งแรกที่ 9 จะลดลงอย่างมีนัยสำคัญจนกว่าจะไม่เกี่ยวข้องอย่างสมบูรณ์และเดียวกันจะไปสำหรับ # 30x ^ 2 # วาระ ดังนั้นสิ่งนี้จะลด:

# 5x ^ 4> 3 ^ x #

#log (5x ^ 4)> เข้าสู่ระบบ (3 ^ x) #

# 4log5x> xlog3 #

# 4log5 + 4logx> xlog3 #

# (4log5 + 4logx) / log3> x #

และฉันคิดว่าฉันทำสิ่งนี้! พีชคณิตไม่ใช่วิธีง่าย ๆ ในการแก้ไขปัญหานี้!