K คือจำนวนจริงที่ตอบสนองคุณสมบัติดังต่อไปนี้: "สำหรับทุก ๆ 3 หมายเลขโพสิทีฟ, a, b, c; ถ้า a + b + c Kดังนั้นabc K" คุณสามารถหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของเคได้ไหม?

ตอบ:

# K = 3sqrt (3) #

คำอธิบาย:

ถ้าเราใส่:

# a = b = c = K / 3 #

แล้ว:

#abc = K ^ 3/27 <= K #

ดังนั้น:

# K ^ 2 <= 27 #

ดังนั้น:

#K <= sqrt (27) = 3sqrt (3) #

ถ้าเรามี # A + B + C <= 3sqrt (3) # จากนั้นเราสามารถบอกได้ว่ากรณี # A = B = c = sqrt (3) # ให้ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ # # abc:

ตัวอย่างเช่นถ้าเราแก้ไข #c ใน (0, 3sqrt (3)) # และปล่อยให้ #d = 3sqrt (3) -c #จากนั้น:

# a + b = d #

ดังนั้น:

#abc = a (d-a) c #

#color (white) (abc) = (ad-a ^ 2) c #

#color (white) (abc) = (d ^ 2 / 4- (a ^ 2-2 (a) (d / 2) + (d / 2) ^ 2)) c #

#color (white) (abc) = (d ^ 2- (a-d / 2) ^ 2) c #

ซึ่งมีค่าสูงสุดเมื่อ # A = d / 2 # และ # B = d / 2 #นั่นคือเมื่อ # A = B #.

ในทำนองเดียวกันถ้าเราแก้ไข # B #จากนั้นเราจะพบว่าสูงสุดคือเมื่อ # A = C #.

ดังนั้นมูลค่าสูงสุดของ # # abc จะบรรลุเมื่อ # A = B = C #.

ดังนั้น # K = 3sqrt (3) # เป็นค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ # A + B + C # ดังนั้น #abc <= K #