สแควร์รูทของ 5 คืออะไร?

รากที่สองของ #5# ไม่สามารถทำให้เป็นพ่อได้ง่ายกว่าที่เป็นอยู่ดังนั้นนี่คือ # sqrt5 # ถึงสิบตำแหน่งทศนิยม:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

ตอบ:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # เป็นจำนวนอตรรกยะ

คำอธิบาย:

โดยปกติจำนวนบวกทั้งหมดจะมีรากที่สองสองอันบวกหนึ่งและลบที่มีขนาดเท่ากัน เราแสดงว่ารากที่สอง (a.k.a. หลัก) ที่เป็นบวกของ # n # โดย #sqrt (n) #.

รากที่สองของตัวเลข # n # เป็นตัวเลข # x # ดังนั้น # x ^ 2 = n #. ดังนั้นถ้า # x ^ 2 = n # จากนั้นยัง # (- x) ^ 2 = n #.

อย่างไรก็ตามการใช้งานที่นิยมคือ "รากที่สอง" หมายถึงการบวก

สมมติว่าเรามีจำนวนบวก # x # ซึ่งเป็นไปตาม:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

จากนั้นคูณทั้งสองข้างด้วย # (2 + x) # เราได้รับ:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

จากนั้นทำการลบ # 2x # จากทั้งสองฝ่ายเราได้รับ:

# x ^ 2 = 5 #

ดังนั้นเราจึงได้พบ:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (white) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))))

เนื่องจากเศษส่วนต่อเนื่องนี้ไม่ได้หยุดเราสามารถบอกได้ว่า #sqrt (5) # ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ยกเลิกได้ - เช่นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น #sqrt (5) # เป็นจำนวนอตรรกยะน้อยกว่าเล็กน้อย #2 1/4 = 9/4#. เพื่อการประมาณที่มีเหตุผลที่ดีกว่าคุณสามารถยกเลิกเศษส่วนต่อเนื่องหลังจากคำศัพท์เพิ่มเติม

ตัวอย่างเช่น:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

การคลายเศษส่วนต่อเนื่องเหล่านี้อาจเป็นเรื่องน่าเบื่อเล็กน้อยดังนั้นโดยทั่วไปแล้วฉันชอบใช้วิธีที่แตกต่างกันนั่นคืออัตราส่วน จำกัด ของลำดับเลขจำนวนเต็มที่กำหนดแบบเรียกซ้ำ

กำหนดลำดับโดย:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

คำศัพท์สองสามคำแรกคือ:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

อัตราส่วนระหว่างเทอมจะมีแนวโน้มที่จะ # 2 + sqrt (5) #.

ดังนั้นเราจึงพบ:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #