สมการต่อไปนี้มีค่าเป็นเว้าเป็นระยะ ๆ , เว้าลงและตำแหน่งของจุดเปลี่ยนคือ (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

ตอบ:

• ถ้า # 0 <x <e ^ (- 15/56) # แล้วก็ # F # คือ เว้าลง;
• ถ้า #x> e ^ (- 15/56) # แล้วก็ # F # คือ เว้าขึ้น;
• # x = E ^ (- 15/56) # คือ (ลดลง) จุดโรคติดเชื้อ

คำอธิบาย:

เพื่อวิเคราะห์สมการและจุดเบี่ยงเบนของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้ง # F #เราสามารถศึกษาความเป็นไปได้ของอนุพันธ์อันดับสอง ในความเป็นจริงถ้า # x_0 # เป็นจุดในโดเมนของ # F #จากนั้น:

• ถ้า # f '' (x_0)> 0 #จากนั้น # F # คือ เว้าขึ้น ในละแวกของ # x_0 #;
• ถ้า # f '' (x_0) <0 #จากนั้น # F # คือ เว้าลง ในละแวกของ # x_0 #;
• ถ้า # f '' (x_0) = 0 # และสัญลักษณ์ของ # f '' # ในย่านที่เหมาะสมเล็ก ๆ ของ # x_0 # อยู่ตรงข้ามกับสัญลักษณ์ของ # f '' # ในบริเวณซ้าย - ซ้ายที่มีขนาดเล็กพอสมควร # x_0 #จากนั้น # x = x_0 # เรียกว่า จุดสะท้อน ของ # F #.

ในกรณีเฉพาะของ #f (x) = x ^ 8 ln (x) #เรามีฟังก์ชั่นที่โดเมนจะต้องถูก จำกัด ไว้ที่ reals เชิงบวก #RR ^ + #.

อนุพันธ์อันดับแรกคือ

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

อนุพันธ์อันดับสองคือ

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

ลองศึกษาความเป็นบวกของ # f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

ดังนั้นเมื่อพิจารณาว่าโดเมนนั้นเป็นอย่างไร #RR ^ + #เราได้สิ่งนั้น

• ถ้า # 0 <x <e ^ (- 15/56) # แล้วก็ # f '' (x) <0 # และ # F # คือ เว้าลง;
• ถ้า #x> e ^ (- 15/56) # แล้วก็ # f '' (x)> 0 # และ # F # คือ เว้าขึ้น;
• ถ้า # x = E ^ (- 15/56) # แล้วก็ # f '' (x) = 0 #. พิจารณาว่าด้านซ้ายของจุดนี้ # f '' # เป็นลบและทางด้านขวามันเป็นบวกเราสรุปได้ว่า # x = E ^ (- 15/56) # คือ (ลดลง) จุดโรคติดเชื้อ