อะไรคือตัวอย่างของซีรี่ส์คอนเวอร์เจนซ์?

ตอบ:

นี่คือสามตัวอย่างที่สำคัญ …

คำอธิบาย:

ชุดเรขาคณิต

ถ้า #abs (r) <1 # แล้วผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต #a_n = r ^ n a_0 # บรรจบกัน:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ชุดที่กำหนด # อี ^ x # เป็นคอนเวอร์เจนซ์สำหรับค่าใด ๆ ของ # x #:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้สำหรับสิ่งใดก็ตาม # x #, ปล่อย # N # เป็นจำนวนเต็มมากกว่า #abs (x) #. แล้วก็ #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # มาบรรจบกันเพราะมันเป็นผลรวมแน่นอนและ #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # มาบรรจบกันเนื่องจากค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนของคำต่อเนื่องน้อยกว่า #abs (x) / (N + 1) <1 #.

ปัญหาบาเซิล

ปัญหาบาเซิลถูกโพสต์ในปี 1644 และแก้ไขโดยออยเลอร์ในปี 1734 ถามถึงมูลค่าของผลรวมของส่วนกลับของกำลังสองของจำนวนเต็มบวก:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #