คุณจะหาค่าสูงสุดและต่ำสุดที่แน่นอนของ f ในช่วงเวลาที่กำหนดได้อย่างไร: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) บน [-1, 5]

ตอบ:

reqd ค่าสุดขีดคือ # -25 / 2 และ 25/2 #.

คำอธิบาย:

เราใช้การทดแทน # t = 5sinx, t ใน -1,5 #.

สังเกตว่าการทดแทนนี้อนุญาตเพราะ

# t ใน -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, ซึ่งถือว่าดีเช่นเดียวกับช่วงของ #บาป# สนุก. คือ #-1,1#.

ตอนนี้ # f (t) = tsqrt (25-T ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

ตั้งแต่, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

ดังนั้นขอให้ แขนขาคือ # -25 / 2 และ 25/2 #.

ตอบ:

ค้นหาความน่าเบื่อของฟังก์ชั่นจากสัญลักษณ์ของอนุพันธ์และตัดสินใจว่าสูงสุด / ต่ำสุดในท้องถิ่นใดที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

ค่าสูงสุดแน่นอนคือ:

# f (3.536) = 12.5 #

ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์คือ:

# f (-1) = - 4.899 #

คำอธิบาย:

# f (t) = tsqrt (25-T ^ 2) #

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

# f '(t) = sqrt (25-T ^ 2) + T * 1 / (2sqrt (25-T ^ 2)) (25-T ^ 2)' #

# f '(t) = sqrt (25-T ^ 2) + T * 1 / (2sqrt (25-T ^ 2)) (- 2t) #

# f '(t) = sqrt (25-T ^ 2) t-^ 2 / sqrt (25-T ^ 2) #

# f '(t) = sqrt (25-T ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-T ^ 2) t-^ 2 / sqrt (25-T ^ 2) #

# f '(t) = (25-T ^ 2-T ^ 2) / sqrt (25-T ^ 2) #

# f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-T ^ 2) #

# f '(t) = 2 (12.5-T ^ 2) / sqrt (25-T ^ 2) #

# f '(t) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-T ^ 2) / sqrt (25-T ^ 2) #

# f '(t) = 2 ((sqrt (12.5) -t) (sqrt (12.5) + T)) / sqrt (25-T ^ 2) #

• ตัวเศษมีสองวิธี:

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  ดังนั้นตัวเศษคือ:

  ลบสำหรับ #t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  คิดบวก #t ใน (-3.536,3.536) #

• ตัวส่วนนั้นเป็นค่าบวกเสมอ # RR #เนื่องจากเป็นสแควร์รูท

  ในที่สุดช่วงที่กำหนดคือ #-1,5#

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ:

- ลบสำหรับ #t ใน -1,3.536) #

- เป็นบวกสำหรับ #t ใน (3.536,5) #

นี่หมายถึงกราฟแรกขึ้นจาก # f (-1) # ไปยัง # f (3.536) # จากนั้นลงไปที่ # f (5) #. สิ่งนี้ทำให้ # f (3.536) # ค่าสูงสุดแน่นอนและค่าที่มากที่สุดของ # f (-1) # และ # f (5) # เป็นขั้นต่ำที่แน่นอน

ค่าสูงสุดแน่นอนคือ # f (3.536) #:

# f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

สำหรับจำนวนสูงสุด:

# f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

# f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

ดังนั้น, # f (-1) = - 4.899 # เป็นขั้นต่ำที่แน่นอน

คุณสามารถดูได้จากกราฟด้านล่างว่านี่เป็นจริง เพียงไม่สนใจพื้นที่ที่เหลือของ #-1# เนื่องจากมันอยู่นอกโดเมน:

กราฟ {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}