Lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) คืออะไรเมื่อ x เข้าใกล้ 1 จากด้านขวา?

# 1 / E #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

กราฟ {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

มันจะง่ายกว่านี้ถ้าเราเลือก # LN # ของทั้งสองฝ่าย ตั้งแต่ # x ^ (1 / (1-x)) # มีความต่อเนื่องในช่วงเวลาเปิดทางด้านขวาของ #1#เราสามารถพูดได้ว่า:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

ตั้งแต่ #ln (1) = 0 # และ #(1 - 1) = 0#นี่คือรูปแบบ #0/0# และกฎของ L'Hopital นำไปใช้:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

และแน่นอน # 1 / x # จะต่อเนื่องจากแต่ละด้านของ #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

ดังนั้นข้อ จำกัด เดิมคือ:

#color (สีน้ำเงิน) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = color (blue) (1 / e) #