คำตอบของสมการอนุพันธ์คืออะไร / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

ตอบ:

โซลูชันทั่วไปคือ:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

คำอธิบาย:

เรามี:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

เราสามารถรวบรวมคำศัพท์สำหรับตัวแปรที่คล้ายกัน:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

ซึ่งเป็นลำดับที่หนึ่งแบบแยกส่วนสามัญที่ไม่ได้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ดังนั้นเราสามารถทำได้ "แยกตัวแปร" ที่จะได้รับ:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

อินทิกรัลทั้งสองเป็นฟังก์ชันมาตรฐานดังนั้นเราจึงสามารถใช้ความรู้นั้นเพื่อรวมโดยตรง:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

และเราสามารถจัดเรียงใหม่ได้อย่างง่ายดาย # Y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

นำไปสู่โซลูชันทั่วไป:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

ตอบ:

# การ y = -1 / (จ ^ T + C) + 1 #

คำอธิบาย:

นี่คือสมการอนุพันธ์ที่แยกกันไม่ออกซึ่งหมายความว่ามันสามารถเขียนในรูปแบบ:

# DY / DX * f (y) = กรัม (x) #

สามารถแก้ไขได้โดยรวมทั้งสองด้าน:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

ในกรณีของเราก่อนอื่นเราต้องแยกอินทิกรัลเป็นรูปแบบที่ถูกต้อง เราสามารถทำได้โดยการหารทั้งสองด้านด้วย # (y-1) ^ 2 #:

# DY / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = ^ อี tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# DY / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = E ^ T #

ตอนนี้เราสามารถรวมทั้งสองด้าน:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

เราสามารถหาอินทิกรัลซ้ายมือได้ด้วยการแทนที่ # U = Y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# U ^ -1 / (- 1) + C_2 = E ^ T + C_1 #

การ Resubstituting (และการรวมค่าคงที่) ให้:

# -1 / (y-1) = E ^ T + C_3 #

ทวีคูณทั้งสองข้างด้วย # Y-1 #:

# -1 = (E ^ T + C_3) (y-1) #

หารทั้งสองข้างด้วย # อี ^ T + C_3 #:

# -1 / (จ ^ T + C_3) = Y-1 #

# การ y = -1 / (จ ^ T + C) + 1 #