คุณลดความซับซ้อนของ root3 (1) ได้อย่างไร?

ตอบ:

#1# หรือ #1^(1/3)# =#1#

คำอธิบาย:

รากที่ถูกคิวบ์ของ 1 เท่ากับการเพิ่ม 1 ถึงพลังของ #1/3#. 1 ถึงพลังของทุกสิ่งยังคงเป็น 1

ตอบ:

การทำงานในเรียลที่เราได้รับ #root 3 {1} = 1 #.

จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกอันมีรูตลูกบาศก์สามรูทดังนั้นมี

#root 3 {1} = 1 หรือ -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

คำอธิบาย:

หากเราทำงานในจำนวนจริงเราก็ทราบ #root 3 {1} = root 3 {1 ^ 3} = 1 #. ฉันจะสมมติว่านี่เป็นจำนวนเชิงซ้อน

หนึ่งในสิ่งประหลาดที่เราค้นพบเมื่อเราเจาะตัวเลขที่ซับซ้อนคือฟังก์ชัน # f (z) = E ^ {Z} # เป็นระยะ การเติบโตแบบเลขชี้กำลังเป็นแบบตรงกันข้ามกับคาบดังนั้นนี่จึงเป็นเรื่องน่าประหลาดใจ

ความจริงที่สำคัญคือข้อมูลประจำตัวของออยเลอร์ยกกำลังสอง ฉันเรียกมันว่า ตัวตนที่แท้จริงของออยเลอร์

# e ^ {2 pi i} = 1 #

ตัวตนที่แท้จริงของออยเลอร์แสดงให้เห็น # อี ^ Z # เป็นงวดกับรอบระยะเวลา # 2pi ฉัน #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

เราสามารถยกระดับตัวตนที่แท้จริงของออยเลอร์ให้เป็นพลังงานจำนวนเต็มใด ๆ # k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

ทั้งหมดนี้เกี่ยวข้องกับคิวบ์รูทของอะไร? มันเป็นกุญแจสำคัญ มันบอกว่ามีวิธีการเขียนจำนวนไม่ จำกัด บางส่วนมีรูตคิวบ์ที่แตกต่างจากที่อื่น นี่เป็นสาเหตุที่เลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนเต็มก่อให้เกิดค่าหลายค่า

นั่นคือทั้งหมดที่ไขลานใหญ่ ฉันมักจะเริ่มต้นเหล่านี้โดยการเขียน:

# e ^ {2pi k i} = 1 รูปสี่เหลี่ยม # สำหรับจำนวนเต็ม # k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

ขั้นตอนสุดท้ายคือสูตรของออยเลอร์ # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta #

เนื่องจากเรามี # 2pi # periodicity ของฟังก์ชันตรีโกณฯ (ซึ่งต่อจากช่วงเวลาของเลขชี้กำลังและสูตรออยเลอร์) เรามีค่าที่ไม่ซ้ำกันสำหรับสามค่าติดต่อกัน # k #s ลองประเมินสิ่งนี้เพื่อ # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sin ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sin 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sin (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

เราได้สามค่าสำหรับรูทลูกบาศก์ของหนึ่ง:

#root 3 {1} = 1 หรือ -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #