ความยาวของ r = 3 / 4theta บนทีต้าใน [-pi, pi] คืออะไร?

ตอบ:

# L = 3 / 4pisqrt (Pi ^ 2 + 1) + 3 / 4LN (PI + sqrt (Pi ^ 2 + 1)) # หน่วย

คำอธิบาย:

# r = 3 / 4theta #

# R ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 #

# R '= 4/3 #

# (R) ^ 2 = 9/16 #

Arclength มอบให้โดย:

# L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta #

ลดความซับซ้อน:

# L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta #

จากสมมาตร:

# L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta #

ใช้การทดแทน # theta = tanphi #:

# L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi #

นี่คืออินทิกรัลที่รู้จัก:

# L = 4/3 secphitanphi + LN | secphi + tanphi | #

ย้อนกลับการทดแทน:

# L = 4/3 thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + LN | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) | _0 ^ ปี่ #

แทรกข้อ จำกัด ของการรวม:

# L = 3 / 4pisqrt (Pi ^ 2 + 1) + 3 / 4LN (PI + sqrt (Pi ^ 2 + 1)) #