ผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดกับอนันต์คืออะไร?

ตอบ:

มีคำตอบต่าง ๆ มากมาย

คำอธิบาย:

เราสามารถสร้างแบบจำลองดังต่อไปนี้

ปล่อย #S (n) # แสดงผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด

#S (n) = 1 + 2 + 3 + 4 + … #

อย่างที่คุณเห็นตัวเลขนั้นใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ

#lim_ (n->) S (n) = #

หรือ

#sum_ (n = 1) ^ n = #

แต่นักคณิตศาสตร์บางคนไม่เห็นด้วยกับเรื่องนี้

ในความเป็นจริงบางคนคิดว่าตามฟังก์ชันซีตาของรีมันน์

#sum_ (n = 1) ^ = n -1/12 #

ฉันไม่รู้อะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้มากนัก แต่นี่คือแหล่งข้อมูลและวิดีโอสำหรับการอ้างสิทธิ์นี้:

blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/does-123-really-equal-112/

ความจริงแล้วยังมีกระดาษเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่มันดูค่อนข้างซับซ้อนสำหรับฉัน อย่างไรก็ตามนี่คือลิงค์สำหรับมัน

math.arizona.edu/~cais/Papers/Expos/div.pdf

ตอบ:

แนวคิดเกี่ยวกับ #zeta (s) #

คำอธิบาย:

ในคณิตศาสตร์ระดับสูงมีฟังก์ชันเฉพาะที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับผลรวมนี้เรียกว่า: #color (สีน้ำเงิน) ("Riemann Zeta Function") #:

ที่ไหน #zeta (s) = sum_ (n = 1) ^ oo n ^ (- s) #

ดังนั้นเราจะเห็นว่า #s = -1 # ตอบคำถามที่คุณถาม …

# => zeta (-1) = -1/12 #

แต่ยังมีชุดอื่นที่มีชื่อเสียงมากในคณิตศาสตร์:

# 1/1 ^ 2 + 1/2 ^ 2 + 1/3 ^ 2 + 1/4 ^ 2 + … = ซีตา (2) = pi ^ 2/6 #

แต่มันน่าสนใจมากที่จะดูว่า #1+2+3+4+ … # มาบรรจบกัน #-1/12#

แต่มันก็รู้ดีว่า #1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … # จริง ๆ แล้วเบี่ยงเบนไป # OO #

คำตอบที่น่าสนใจของฟังก์ชันซีตา riemann น้อยมาก #zeta (s) #:

#zeta (-3) = 1/120 #

#zeta (4) = pi ^ 4/90 #

#zeta (50) = (39604576419286371856998202 pi ^ 50) / 28525877145754676446336366366334364365234375 #

"พบค่าใน