ตอบ:
# 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #
คำอธิบาย:
เริ่มต้นด้วยการแยกตัวส่วน:
# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2 + x-1) #
ตอนนี้เราสามารถทำเศษส่วนบางส่วนได้:
# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2 x + 1)) = A / (x + 1) + (Bx + C) / (x ^ 2-x +1) #
เราสามารถหา # A # ใช้วิธีการปกปิด:
# A = 1 / ((ข้อความ (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #
ต่อไปเราสามารถคูณทั้งสองข้างด้วยตัวหาร LHS:
# 1 = 3/1 (x ^ 2 + x-1) + (Bx + C) (x + 1) #
# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C #
# 1 = (3/1 + B) x ^ 2 + (B + C-1/3) x + (C + 3/1) #
นี่ให้สมการต่อไปนี้:
# 1/3 + B = 0 -> B = -1 / 3 #
# C + 3/1 = 1> C = 3/2 #
นี่หมายความว่าเราสามารถเขียนอินทิกรัลดั้งเดิมของเราได้:
#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #
อินทิกรัลแรกสามารถทำได้โดยใช้การแทนที่ยูอย่างชัดเจน แต่ค่อนข้างชัดเจนว่าคำตอบคือ #ln | x + 1 | #:
# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #
เราสามารถแยกอินทิกรัลที่เหลือเป็นสอง:
#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #
# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #
เหตุผลของการใช้กลอุบายด้วยการคูณและหารด้วย #2# คือทำให้ตัวส่วนซ้ายใช้ง่ายกว่าในการใช้การเปลี่ยนตัวยูใน
ฉันจะเรียกอินทิกรัลอินทิกรัลซ้าย 1 และอินทิกรัลอินทิกรัล 1 ด้านขวา
ส่วนประกอบสำคัญ 1
#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #
เนื่องจากเราได้เตรียมอินทิกรัลไว้สำหรับการทดแทนสิ่งที่เราต้องทำก็คือสิ่งทดแทน # U = x ^ 2 + x 1 #และอนุพันธ์คือ # 2x-1 #ดังนั้นเราจึงแบ่งการรวมเข้าด้วยกันด้วยความเคารพ #ยู#:
#int cancel (2x-1) / (ยกเลิก (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #
ส่วนประกอบสำคัญ 2
# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #
เราต้องการให้อินทิกรัลนี้เป็นแบบฟอร์ม:
#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
ในการทำเช่นนี้เราต้องทำให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นตัวส่วน:
# x ^ 2 x + 1 = (x-1/2) ^ 2 + K #
# x ^ 2 x + 1 = x ^ 2 + x 4/1 + K #
# k = 4/3 #
# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #
เราต้องการที่จะแนะนำการเปลี่ยนตัวคุณเช่น:
# (x-1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #
# x-1/2 = sqrt3 / 2u #
# x = sqrt3 / 2u + 2/1 #
เราคูณด้วยอนุพันธ์เทียบกับ #ยู# เพื่อบูรณาการด้วยความเคารพ #ยู#:
# DX / (du) = sqrt (3) / 2 #
# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #
# = 2sqrt3tan ^ -1 (U) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #
เติมอินทิกรัลดั้งเดิม
ตอนนี้เรารู้คำตอบของอินทิกรัล 1 และอินทิกรัล 2 เราสามารถเสียบกลับเข้าไปในนิพจน์ดั้งเดิมเพื่อรับคำตอบสุดท้ายของเรา:
# 1/3 (LN | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3)) + C = #
# = 1 / 3LN | x + 1 | -1 / 6LN | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x-1) / sqrt3) + C #
ตอบ:
# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #
คำอธิบาย:
#int dx / (x ^ 3 + 1) #
=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #
=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #
=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #
=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #
=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #
=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #
=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #
=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2 + x-1) + C #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #
=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2 + x-1) + C #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #
=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2 + x-1) + C #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #
=# 1 / 3LN (x + 1) -1 / 6LN (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x-1) / sqrt3) + C #
