ลองพิจารณารัศมีของวงกลม r ที่เท่ากัน 3 วงภายในวงกลมรัศมีที่กำหนด R แต่ละอันเพื่อสัมผัสอีกสองวงและวงกลมที่ให้ตามที่แสดงในรูปจากนั้นพื้นที่ของพื้นที่แรเงาเท่ากับ?

เราสามารถสร้างนิพจน์สำหรับพื้นที่ของพื้นที่แรเงาดังนี้:

#A_ "shaded" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "กึ่งกลาง" #

ที่ไหน #A_ "ศูนย์" # คือพื้นที่ของส่วนเล็ก ๆ ระหว่างวงกลมสามวงที่มีขนาดเล็ก

เพื่อหาพื้นที่ของสิ่งนี้เราสามารถวาดรูปสามเหลี่ยมโดยเชื่อมต่อศูนย์กลางของวงกลมสีขาวขนาดเล็กสามวง เนื่องจากวงกลมแต่ละวงมีรัศมี # R #ความยาวของแต่ละด้านของสามเหลี่ยมคือ # 2r # และรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีมุมของ # 60 ^ o # แต่ละ.

เราบอกได้ว่ามุมของภาคกลางคือพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ลบด้วยสามส่วนของวงกลม ความสูงของสามเหลี่ยมนั้นเรียบง่าย #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ # 1/2 * base * height = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

พื้นที่ของส่วนวงกลมสามวงในสามเหลี่ยมนี้เป็นพื้นที่เดียวกับครึ่งหนึ่งของวงกลม (เนื่องจากมีมุมของ # 60 ^ o # แต่ละคนหรือ #1/6# วงกลมดังนั้นเราจึงสามารถอนุมานพื้นที่ทั้งหมดของภาคเหล่านี้เป็น # 1/2 pir ^ 2 #.

ในที่สุดเราสามารถหาพื้นที่ของศูนย์กลางได้ #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

ดังนั้นกลับไปที่การแสดงออกดั้งเดิมของเราพื้นที่ของพื้นที่สีเทาคือ

# PIR ^ 2-3pir ^ 2-R ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

ตอบ:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

คำอธิบาย:

มารัศมีวงสีขาวกัน # r = 1 #. ศูนย์ก่อรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ากันหมด #2#. แต่ละค่ามัธยฐาน / ความสูงคือ #sqrt {3} # ดังนั้นระยะจากจุดยอดถึงเซนทรอยด์คือ # 2/3 sqrt {3} #.

เซนทรอยด์เป็นศูนย์กลางของวงกลมใหญ่ดังนั้นระยะห่างระหว่างศูนย์กลางของวงกลมใหญ่กับศูนย์กลางของวงกลมเล็ก ๆ เราเพิ่มรัศมีเล็กน้อย # r = 1 # เพื่อรับ

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

พื้นที่ที่เราแสวงหาคือพื้นที่ของวงกลมใหญ่หักสามเหลี่ยมด้านเท่าและส่วนที่เหลือ #5/6# ของวงกลมเล็ก ๆ

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

เราขยายขนาดโดย # R ^ 2 # โดยทั่วไป