ทฤษฎีบทค่ากลางหมายความว่าอย่างไร

ตอบ:

มันหมายความว่าถ้าฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง (ในช่วงเวลา # A #) รับ 2 ค่าที่แตกต่าง # f (ก) # และ #FB)# (# a, b ใน A # แน่นอน) จากนั้นจะใช้ค่าทั้งหมดระหว่าง # f (ก) # และ #FB)#.

คำอธิบาย:

เพื่อให้จดจำหรือเข้าใจได้ดีขึ้นโปรดทราบว่าคำศัพท์คณิตศาสตร์ใช้รูปภาพจำนวนมากตัวอย่างเช่นคุณสามารถจินตนาการถึงฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นอย่างสมบูรณ์แบบ! มันเหมือนกันตรงนี้ด้วยสื่อกลางคุณสามารถจินตนาการถึงบางสิ่งระหว่าง 2 อย่างถ้าคุณรู้ว่าฉันหมายถึงอะไร อย่าลังเลที่จะถามคำถามใด ๆ หากยังไม่ชัดเจน!

ตอบ:

คุณสามารถบอกได้ว่าโดยทั่วไปแล้วมันบอกว่าจำนวนจริงไม่มีช่องว่าง

คำอธิบาย:

ทฤษฎีบทค่ากลางระบุว่าถ้า # f (x) # เป็นฟังก์ชั่นมูลค่าที่แท้จริงที่ต่อเนื่องในช่วงเวลา # a, b # และ # Y # คือค่าระหว่าง # f (ก) # และ #FB)# จากนั้นมีบางส่วน #x ใน a, b # ดังนั้น #f (x) = y #.

โดยเฉพาะทฤษฎีบทของโบลซาโน่กล่าวว่าหาก # f (x) # เป็นฟังก์ชั่นมูลค่าที่แท้จริงซึ่งต่อเนื่องในช่วงเวลา # a, b # และ # f (ก) # และ #FB)# เป็นสัญญาณที่แตกต่างกันแล้วมีบางอย่าง #x ใน a, b # ดังนั้น #f (x) = 0 #.

#COLOR (สีขาว) () #

พิจารณาฟังก์ชั่น #f (x) = x ^ 2-2 # และช่วงเวลา #0, 2#.

นี่คือฟังก์ชันมูลค่าจริงซึ่งต่อเนื่องตามช่วงเวลา (ในความเป็นจริงอย่างต่อเนื่องทุกหนทุกแห่ง)

เราพบว่า #f (0) = -2 # และ #f (2) = 2 #ดังนั้นโดยทฤษฎีบทค่ากลาง (หรือทฤษฎีบทของโบลซาโนที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น) จึงมีค่าบางอย่าง #x ใน 0, 2 # ดังนั้น #f (x) = 0 #.

ค่านี้ของ # x # คือ #sqrt (2) #.

ดังนั้นหากเรากำลังพิจารณา # f (x) # ในฐานะที่เป็นฟังก์ชันที่มีมูลค่าของจำนวนตรรกยะแล้วทฤษฎีบทค่ากลางจะไม่ถือตั้งแต่ #sqrt (2) # ไม่ใช่เหตุผลดังนั้นจึงไม่อยู่ในช่วงเวลาที่มีเหตุผล # 0, 2 nn QQ #. เพื่อให้เป็นอีกวิธีหนึ่งคือจำนวนตรรกยะ # # QQ มีช่องว่างที่ #sqrt (2) #.

#COLOR (สีขาว) () #

สิ่งที่สำคัญคือทฤษฎีบทค่ากลางมีไว้สำหรับฟังก์ชันมูลค่าที่ต่อเนื่องใด ๆ นั่นคือไม่มีช่องว่างในจำนวนจริง