พื้นที่สี่เหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถถูกจารึกไว้ในวงรีคือ: 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36?

ตอบ:

#A = 12 #

คำอธิบาย:

# 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36 equiv x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

ปัญหาสามารถถูกวางเป็น:

ค้นหา Max # เซ็กซี่ # หรือเทียบเท่าสูงสุด # x ^ 2y ^ 2 # ดังนั้น

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

ทำตอนนี้ #X = x ^ 2, Y = y ^ 2 # ปัญหาเทียบเท่ากับ

หา #max (X * Y) # ภายใต้ # X / 4 + Y / 9 = 1 #

lagrangian สำหรับการกำหนดจุดคงที่คือ

#L (X, Y, lambda) = X * Y + lambda (X / 4 + Y / 9-1) #

สภาพความนิ่งอยู่ที่

#grad L (X, Y, lambda) = vec 0 #

หรือ

# {(lambda / 2 + Y = 0), (lambda / 9 + X = 0), (X / 2 + Y / 9 - 1 = 0):} #

การแก้เพื่อ # X, Y, แลมบ์ดา # จะช่วยให้

# {X_0 = 2, Y_0 = 9/2, lambda_0 = -18} #

ดังนั้น # {x_0 = sqrt (2), y_0 = 3 / sqrt (2)} #

#A = 4 x_0 y_0 = 4 xx3 = 12 #