แสดงให้เห็นว่าทุกรูปหลายเหลี่ยมลำดับที่สร้างขึ้นโดยลำดับอนุกรมของเลขคณิตที่มีความแตกต่างทั่วไป d, d ใน ZZ เป็นลำดับรูปหลายเหลี่ยมที่สามารถสร้างขึ้นโดย a_n = an ^ 2 + bn + c?

ตอบ:

# a_n = P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + b ^ n + c #

กับ # A = d / 2; ข = (2-D) / 2; c = 0 #

# P_n ^ (D + 2) # เป็นอนุกรมรูปหลายเหลี่ยมอันดับ # r = d + 2 #

ตัวอย่างที่กำหนดลำดับเลขคณิตข้ามการนับโดย # d = 3 #

คุณจะมี #COLOR (สีแดง) (เหลี่ยม) # ลำดับ:

# P_n ^ color (สีแดง) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # ให้ # P_n ^ 5 = {1, สี (แดง) 5, 12, 22,35,51, cdots} #

คำอธิบาย:

ลำดับโพลีกอนถูกสร้างขึ้นโดยการ # ที่ n # ผลรวมของลำดับเลขคณิต ในแคลคูลัสนี่จะเป็นการรวมเข้าด้วยกัน

ดังนั้นสมมติฐานหลักที่นี่คือ:

เนื่องจากลำดับเลขคณิตเป็นเส้นตรง (คิดว่าเป็นสมการเชิงเส้น) จากนั้นการรวมลำดับเชิงเส้นจะส่งผลให้ลำดับพหุนามของระดับ 2

ตอนนี้เพื่อแสดงกรณีนี้

เริ่มต้นด้วยลำดับธรรมชาติ (ข้ามการนับโดยเริ่มต้นด้วย 1)

#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #

หาผลรวมของ n #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #

# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #

#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n; #

# a_n # เป็นลำดับเลขคณิตด้วย

# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #

#S_n = (1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1)) / 2n = n (n + 1) / 2 #

#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #

ดังนั้นด้วย d = 1 ลำดับคือรูปแบบ # P_n ^ 3 = an ^ 2 + bn + c #

กับ #a = 1/2; ข = 2/1; c = 0 #

ตอนนี้พูดคุยสำหรับเคาน์เตอร์ข้ามโดยพลการ #COLOR (สีแดง) d #, #color (แดง) d สี (สีน้ำเงิน) ZZ # และ # a_1 = 1 #:

# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + สี (สีแดง) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = (2 + สี (สีแดง) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = สี (สีแดง) d / 2n ^ 2 + (2 สี (สีแดง) d) n / 2 #

ซึ่งเป็นรูปแบบทั่วไป # P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + bn + c #

กับ # A = สี (สีแดง) d / 2; ข = (2 สี (สีแดง) d) / 2; c = 0 #