ฟังก์ชั่น 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 คือ maxima, minima หรือ point of inflection?

ตอบ:

• ไม่มีนาทีหรือสูงสุด
• จุดโรคติดเชื้อที่ #x = -2 / 3 #.

กราฟ {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

คำอธิบาย:

นาทีและ Maxes

สำหรับที่ได้รับ # x #- ค่า (ลองเรียกมันว่า c # #) เป็นสูงสุดหรือต่ำสุดสำหรับฟังก์ชั่นที่กำหนดมันจะต้องตอบสนองต่อไปนี้:

#f '(c) = 0 # หรือไม่ได้กำหนด

ค่าเหล่านี้ของ c # # จะเรียกว่าของคุณ จุดวิกฤติ

หมายเหตุ: ไม่ใช่ทุกจุดวิกฤติคือสูงสุด / นาที แต่สูงสุด / นาทีทั้งหมดเป็นจุดวิกฤติ

ดังนั้นเรามาค้นหาฟังก์ชั่นของคุณ:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

นี่ไม่ใช่ปัจจัยดังนั้นลองใช้สูตรสมการกำลังสอง:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… และเราสามารถหยุดตรงนั้น อย่างที่คุณเห็นเรามีจำนวนลบอยู่ใต้สแควร์รูท ดังนั้นจึงมี ไม่มีจุดวิกฤติที่แท้จริง สำหรับฟังก์ชั่นนี้

-

จุดโรคติดเชื้อ

ทีนี้มาหาจุดเปลี่ยนของกัน จุดเหล่านี้คือจุดที่กราฟมีการเปลี่ยนแปลงในส่วนเว้า (หรือความโค้ง) สำหรับจุด (เรียกมันว่า c # #) เพื่อให้เป็นจุดของการเปลี่ยนแปลงมันจะต้องตอบสนองต่อไปนี้:

#f '' (c) = 0 #.

หมายเหตุ: ไม่ใช่ทุกจุดดังกล่าวเป็นจุดเปลี่ยนการเว้า แต่ทุกจุดของการผันจะต้องตรงตามนี้.

ดังนั้นลองหาสิ่งเหล่านี้:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

ตอนนี้เราต้องตรวจสอบว่าอันที่จริงแล้วเป็นจุดผันโรค ดังนั้นเราจะต้องยืนยันว่า # f '' (x) # ในความเป็นจริงแล้วลงชื่อเข้าใช้ที่ #x = -2 / 3 #.

ลองทดสอบค่าทางด้านขวาและซ้ายของ #x = -2 / 3 #:

ขวา:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

ซ้าย:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

เราไม่สนใจว่าค่าจริงคืออะไร แต่อย่างที่เราเห็นได้ชัดเจนว่ามีจำนวนบวกอยู่ทางขวา #x = -2 / 3 #และจำนวนลบอยู่ทางซ้ายของ #x = -2 / 3 #. ดังนั้นมันจึงเป็นจุดผันโรค

เพื่อสรุป # f (x) # ไม่มีจุดวิกฤติ (หรือนาทีหรือสูงสุด) แต่มีจุดเปลี่ยนไปที่ #x = -2 / 3 #.

ลองดูกราฟของ # f (x) # และดูความหมายของผลลัพธ์เหล่านี้:

กราฟ {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

กราฟนี้เพิ่มขึ้นทุกหนทุกแห่งดังนั้นจึงไม่มีสถานที่ใด ๆ ที่อนุพันธ์ = 0 อย่างไรก็ตามมันเปลี่ยนจากโค้งลง (เว้าลง) เป็นโค้งขึ้น (เว้าขึ้น) ที่ #x = -2 / 3 #.

หวังว่าจะช่วย:)