คำถาม # 9be0d

คำถาม # 9be0d
Anonim

ตอบ:

สมการนี้เป็นการประมาณค่าของพลังงานสัมพัทธภาพของอนุภาคสำหรับความเร็วต่ำ

คำอธิบาย:

ฉันสมมติความรู้บางอย่างเกี่ยวกับสัมพัทธภาพพิเศษนั่นคือพลังงานของอนุภาคเคลื่อนที่ที่สังเกตจากกรอบเฉื่อยนั้น # E = gammamc ^ 2 #ที่ไหน # แกมมา = 1 / sqrt (1- (v / c) ^ 2) # ปัจจัย Lorentz ที่นี่ # v # คือความเร็วของอนุภาคที่ผู้สังเกตการณ์สังเกตในกรอบเฉื่อย

เครื่องมือการประมาณที่สำคัญสำหรับนักฟิสิกส์คือการประมาณอนุกรมของเทย์เลอร์ ซึ่งหมายความว่าเราสามารถประมาณฟังก์ชั่น # f (x) # โดย # f (x) approxsum_ (n = 0) ^ N (ฉ ^ ((n)) (0)) / (n) x ^ n #, ที่สูงกว่า # N #การประมาณที่ดีขึ้น ในความเป็นจริงสำหรับฟังก์ชั่นขนาดใหญ่ที่ราบรื่นการประมาณนี้จะกลายเป็นการ # N # ไปที่ # OO #. สังเกตได้ว่า # f ^ ((n)) # ย่อมาจากอนุพันธ์อันดับที่ n ของ # F #.

เราประมาณฟังก์ชั่น # f (x) = 1 / sqrt (1-x) # สำหรับขนาดเล็ก # x #เราทราบว่าถ้า # x # เล็ก, # x ^ 2 # จะมีขนาดเล็กลงดังนั้นเราจึงสมมติว่าเราไม่สนใจปัจจัยของคำสั่งนี้ ดังนั้นเราจึงมี # f (x) approxf (0) + F (0) x # (การประมาณแบบนี้เรียกว่าการประมาณนิวตัน) # f (0) = 0 # และ # f (x) = 1 / (2 (1-x) ^ (3/2)) #ดังนั้น # f (0) = 1/2 #. ดังนั้น # f (x) approx1 + 1 / 2x #.

ตอนนี้เราทราบแล้วว่า # แกมมา = f ((v / c) ^ 2) #. แน่นอนถ้า # v # มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับ c # #ซึ่งมันจะเป็นสถานการณ์แบบวันต่อวันการประมาณถือดังนั้น # gammaapprox1 + 2/1 (v / c) ^ 2 #. แทนสิ่งนี้ในสมการสำหรับพลังงานทั้งหมดของอนุภาค # Eapproxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2 #. สิ่งนี้ทำให้เราได้พลังงานจลน์ #E _ ("ญาติ") = E-E_ "ส่วนที่เหลือ" approxmc ^ 2 + 1 / 2mv ^ 2-MC ^ 2 = 1 / 2mv ^ 2 # สำหรับความเร็วต่ำซึ่งสอดคล้องกับทฤษฎีคลาสสิก สำหรับความเร็วที่สูงกว่าก็ควรที่จะใช้คำศัพท์เพิ่มเติมจากซีรีส์เทย์เลอร์ซึ่งลงท้ายด้วยการแก้ไขความสัมพันธ์ที่เรียกว่าพลังงานจลน์