ข้อใดต่อไปนี้มีจำนวนรูตจริงสูงสุด

ตอบ:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # กับ #4# รากที่แท้จริง

คำอธิบาย:

โปรดทราบว่ารากของ:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

เป็นเซตย่อยของการรวมกลุ่มของรากของสมการทั้งสอง:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

โปรดทราบว่าหากหนึ่งในสองสมการนี้มีคู่ของรากที่แท้จริงดังนั้นอีกคู่ก็ทำเช่นนั้นเพราะพวกเขามีความแตกต่างกัน:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

ทราบเพิ่มเติมว่าถ้า #a, b, c # ทุกคนมีป้ายเดียวกันแล้ว # ax ^ 2 + b abs (x) + c # จะใช้ค่าของสัญญาณนั้นเสมอ # x # เป็นจริง ดังนั้นในตัวอย่างของเราตั้งแต่ # A = 1 #เราสามารถทราบได้ทันทีว่า:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

ไม่มีเลขศูนย์

ลองดูอีกสามสมการในทางกลับกัน:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x ใน {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x ใน {-2, 1}):} #

ลองใช้แต่ละวิธีเราค้นหาวิธีแก้ปัญหา #x ใน {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x ใน {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x ใน {-1, -2}):} #

เมื่อลองใช้แต่ละสิ่งเราจะพบว่าทั้งหมดเป็นคำตอบของสมการดั้งเดิมนั่นคือ #x ใน {-2, -1, 1, 2} #

วิธีการทางเลือก

โปรดทราบว่ารากที่แท้จริงของ # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (ในกรณีที่ #c! = 0 #) เป็นรากที่แท้จริงของบวก # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

ดังนั้นเพื่อค้นหาว่าสมการใดที่มีรากแท้จริงที่สุดจะเท่ากับการค้นหาว่าสมการกำลังสองสามัญใดที่มีรากแท้จริงบวกที่สุด

สมการกำลังสองที่มีรากแท้จริงที่เป็นบวกสองอันมีเครื่องหมายในรูปแบบ #+ - +# หรือ #- + -#. ในตัวอย่างของเราสัญญาณแรกจะเป็นค่าบวกเสมอ

จากตัวอย่างที่ระบุมีเพียงค่าที่สองและสามเท่านั้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ในรูปแบบ #+ - +#.

เราสามารถลดสมการที่สองได้ # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # เนื่องจากความแตกต่างเป็นลบ แต่สำหรับสมการที่สามเราพบว่า:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

มีรากที่แท้จริงที่เป็นบวกสองประการ #4# รากของสมการ # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #