ให้ 5a + 12b และ 12a + 5b เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากและ 13a + kb เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากโดยที่ a, b และ k เป็นจำนวนเต็มบวก คุณจะหาค่าที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้ของ k และค่าที่เล็กที่สุดของ a และ b สำหรับ k นั้นอย่างไร

ตอบ:

#k = 10 #, A = # 69 #, # B = 20 #

คำอธิบาย:

ตามทฤษฎีบทของพีธากอรัสเรามี:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

นั่นคือ:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (สีขาว) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

ลบด้านซ้ายจากปลายทั้งสองด้านเพื่อค้นหา:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (white) (0) = b ((240-26k) a + (169-k ^ 2) b) #

ตั้งแต่ #b> 0 # เราต้องการ:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

จากนั้นตั้งแต่ #a, b> 0 # เราต้องการ # (240-26k) # และ # (169-k ^ 2) # มีสัญญาณตรงกันข้าม

เมื่อ #k ใน 1, 9 # ทั้งสอง # 240-26k # และ # 169-k ^ 2 # เป็นบวก

เมื่อ #k ใน 10, 12 # เราพบว่า # 240-26k <0 # และ # 169-k ^ 2> 0 # ตามความจำเป็น.

ดังนั้นค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ # k # คือ #10#.

แล้ว:

# -20a + 69b = 0 #

จากนั้นตั้งแต่ #20# และ #69# ไม่มีปัจจัยทั่วไปที่ใหญ่กว่า #1#ค่าต่ำสุดของ # A # และ # B # เป็น #69# และ #20# ตามลำดับ