อะไรคือความแตกต่างระหว่างแอนติเดริเวทีฟและอินทิกรัล?

ไม่มีความแตกต่างทั้งสองคำมีความหมายเหมือนกัน

มันขึ้นอยู่กับสองสิ่ง Antiderivative ใดทั่วไปหรือเฉพาะเจาะจง อินทิกรัล จำกัด แน่นอนหรือไม่แน่นอน? แล้วเราจะถามใคร

ส่วนประกอบพื้นฐานของ Antiderivative และ Indefinite:

นักคณิตศาสตร์หลายคนไม่แยกแยะอินทิกรัลไม่ จำกัด และแอนติเดริเวทีฟทั่วไป ในทั้งสองกรณีสำหรับฟังก์ชั่น # F # คำตอบคือ #F (x) + C # ที่ไหน #F '(x) = f (x) #..

บางคน (ตัวอย่างเช่นผู้เขียนตำรา James Stewart) สร้างความแตกต่าง สิ่งที่สจ๊วตหมายถึงว่าเป็นแอนเดอเรทีฟที่ "ทั่วไปที่สุด" # F #ยอมรับค่าคงที่ที่แตกต่างกันในแต่ละความไม่สอดคล้องของ # F #. ตัวอย่างเช่นเขาจะตอบว่า antiderivative ทั่วไปมากที่สุดของ # 1 / x ^ 2 # เป็นฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ทีละชิ้น:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # สำหรับ # x <0 # และ # (- 1) / x + C_2 # สำหรับ # x> 0 #.

อินทิกรัลไม่ จำกัด ของ # F #ในการรักษานี้มักจะเป็นยาลดความอ้วนในบางช่วงเวลา # F # อย่างต่อเนื่อง

ดังนั้น #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #ซึ่งเป็นที่เข้าใจกันว่าโดเมนนั้นถูก จำกัด อยู่ที่เซตย่อยบางส่วนของรีออลเชิงบวกหรือเซตย่อยของรีออลเชิงลบ

โดยเฉพาะยาลดไข้

antiderivative เฉพาะของ # F # เป็นฟังก์ชั่น # F # (มากกว่าตระกูลของฟังก์ชั่น) ซึ่ง #F '(x) = f (x) #.

ตัวอย่างเช่น:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # สำหรับ # x <0 # และ # (- 1) / x + 1 # สำหรับ # x> 0 #.

เป็นสารป้องกันโดยเฉพาะของ # f (x) = 1 / x ^ 2 #

และ:

#G (x) = (- 1) / x-3 # สำหรับ # x <0 # และ # (- 1) / x + 6 # สำหรับ # x> 0 #.

เป็นสารต้านอนุมูลอิสระที่แตกต่างกันโดยเฉพาะของ # f (x) = 1 / x ^ 2 #.

อินทิกรัล จำกัด

อินทิกรัล จำกัด เขตของ # F # จาก # A # ไปยัง # B # ไม่ใช่ฟังก์ชั่น มันเป็นตัวเลข

ตัวอย่างเช่น:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(เพื่อให้เกิดความซับซ้อนมากขึ้นสามารถหาอินทิกรัล จำกัด นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสตอนที่ 2 โดยค้นหา / การอินทิกรัลอินทิกรัลอินทิกรัล / แอนติเดริเวทีฟทั่วไป

คำถามของคุณเกี่ยวข้องกับสิ่งที่เป็น "ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญ" อย่างแท้จริงในการพัฒนาแคลคูลัสโดย Isaac Newton และ Gottfried Leibniz

การมุ่งเน้นไปที่ฟังก์ชั่นที่ไม่เคยเป็นลบความเข้าใจนี้สามารถใช้ถ้อยคำเป็น: "Antiderivatives สามารถใช้ หา พื้นที่ (ปริพันธ์) และพื้นที่ (ปริพันธ์) สามารถใช้ในการ กำหนด antiderivatives "นี่คือสาระสำคัญของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

โดยไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับผลรวมของ Riemann (หลังจากทั้งหมด Bernhard Riemann อาศัยอยู่เกือบ 200 ปีหลังจาก Newton และ Leibniz ต่อไป) และนำแนวคิดของพื้นที่มาเป็นแนวคิด (ไม่ได้กำหนด) ที่ใช้งานง่าย #f (x) geq 0 # เพื่อทุกสิ่ง # x # กับ #a leq x leq b #แค่คิดสัญลักษณ์อินทิกรัล จำกัด เขต # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # แสดงพื้นที่ในกราฟของ # F # และเหนือ # x #- แกนระหว่าง # x = a # และ # x = b #. หากฟังก์ชั่นอื่น # F # สามารถพบได้เพื่อที่ #F '(x) = f (x) # เพื่อทุกสิ่ง #a leq x leq b #จากนั้น # F # ถูกเรียกว่า antiderivative ของ # F # ช่วงเวลา # a, b # และความแตกต่าง #F (ข) -F (ก) # เท่ากับมูลค่าของอินทิกรัล จำกัด เขต นั่นคือ, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. ความจริงเรื่องนี้มีประโยชน์สำหรับ คำวินิจฉัย ค่าของอินทิกรัล จำกัด (พื้นที่) เมื่อสามารถหาสูตรสำหรับแอนเดอไรเดอร์ได้

ในทางกลับกันถ้าเรากำหนดขีด จำกัด สูงสุดของสัญลักษณ์อินทิกรัลเป็นตัวแปรให้เรียกมันว่า # เสื้อ #และกำหนดฟังก์ชั่น # F # โดยสูตร #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (ดังนั้น #F (t) # เป็นพื้นที่ใต้กราฟของ # F # ระหว่าง # x = a # และ # x = T #สมมติว่า #a leq t leq b #) จากนั้นฟังก์ชั่นใหม่นี้ # F # มีคำจำกัดความที่แตกต่างและ #F '(t) = f (t) # สำหรับตัวเลขทั้งหมด # เสื้อ # ระหว่าง # A # และ # B #. เราใช้อินทิกรัลเป็น กำหนด antiderivative ของ # F #. ความจริงนี้มีประโยชน์สำหรับการประมาณค่าของ antiderivative เมื่อไม่สามารถหาสูตรได้ (ใช้วิธีการรวมตัวเลขเช่นกฎของ Simpson) ตัวอย่างเช่นมันใช้ตลอดเวลาโดยนักสถิติเมื่อประมาณพื้นที่ภายใต้เส้นโค้งปกติ ค่าของแอนติเดริเวทีฟพิเศษของเส้นโค้งมาตรฐานมักจะให้ไว้ในตารางในหนังสือสถิติ

ในกรณีที่ # F # มีค่าลบ, อินทิกรัล จำกัด เขตต้องพิจารณาในแง่ของ "พื้นที่ที่ถูกเซ็นชื่อ"