ชาวกรีกสามคนชาวอเมริกันสามคนและชาวอิตาเลียนสามคนนั่งล้อมรอบโต๊ะแบบสุ่ม ความน่าจะเป็นที่คนในกลุ่มทั้งสามนั่งด้วยกันคืออะไร?

ตอบ:

#3/280#

คำอธิบาย:

ลองนับวิธีนั่งทั้งสามกลุ่มที่อยู่ติดกันและเปรียบเทียบสิ่งนี้กับจำนวนวิธีที่ทั้ง 9 คนนั้นสามารถนั่งแบบสุ่ม

เราจะนับจำนวนคนที่ 1 ถึง 9 และกลุ่ม #A, G, I. #

#stackrel A overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel I overbrace (7, 8, 9) #

มี 3 กลุ่มดังนั้นจึงมี #3! = 6# วิธีในการจัดเรียงกลุ่มโดยไม่รบกวนคำสั่งภายใน:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

จนถึงตอนนี้ทำให้เรามี 6 การเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้อง

ภายในแต่ละกลุ่มมีสมาชิก 3 คนดังนั้นจึงมีอีกครั้ง #3! = 6# วิธีในการจัดการสมาชิกภายใน 3 กลุ่มดังต่อไปนี้:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

เมื่อรวมกับ 6 วิธีในการจัดกลุ่มเรามี #6^4# การเรียงสับเปลี่ยนที่ถูกต้องจนถึงขณะนี้

และเนื่องจากเราอยู่ที่โต๊ะกลมเราอนุญาตให้มีการจัดการ 3 แบบโดยที่กลุ่มแรกอาจเป็น "ครึ่ง" ที่ปลายด้านหนึ่งและอีกครึ่งหนึ่ง "ที่อีกด้านหนึ่ง:

# "A A A G G G ฉันฉันฉัน" #

# "A A G G G ฉันฉันฉัน A" #

# "A G G G ฉันฉันฉัน A" #

จำนวนวิธีรวมที่จะได้ทั้ง 3 กลุ่มที่จะนั่งด้วยกันคือ # 6 ^ 4 xx 3. #

จำนวนวิธีสุ่มในการจัดการทั้งหมด 9 คนคือ #9!#

ความน่าจะเป็นของการสุ่มเลือกหนึ่งในวิธี "ประสบความสำเร็จ" นั้น

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#