ตอบ:
เริ่มกับ
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
ลองเปลี่ยนซีแคนต์ด้วยโคไซน์
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
ตอนนี้เราหาอนุพันธ์ wrt x บนทั้งสองด้าน!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
อนุพันธ์ของค่าคงที่เป็นศูนย์และอนุพันธ์เป็นเส้นตรง!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
ตอนนี้ใช้กฎผลิตภัณฑ์เพียงสองคำแรกที่เราได้รับ!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
ความสนุกสนานมากมายต่อไปกับกฎลูกโซ่! ดูเทอมสุดท้าย!
(ทำอนุพันธ์ x อย่างง่ายเช่นกัน)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
การทำอนุพันธ์ y เหล่านั้นอนุพันธ์ xy และอนุพันธ์ cos (xy) ก็ทำกฎผลิตภัณฑ์และกฎลูกโซ่อีกครั้งในส่วนสุดท้ายของเทอมสุดท้าย
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
เรียบร้อยนิดหน่อยและทำอนุพันธ์ทั้งหมดให้เสร็จ
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
แยกออกมาเป็นเทอมด้วย # DX / DY # และไม่มี
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
นำทุกสิ่งโดยไม่ต้อง # DY / DX # ด้านหนึ่งและคอลเลคชันเช่นคำศัพท์อื่น ๆ
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
แบ่งแม้ว่าจะหา # DY / DX #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
นั่นมันนานมาก!
คำอธิบาย:
ไปด้วยคำอธิบายที่ยาวมากพร้อมตัวอย่างง่ายๆเพราะความแตกต่างโดยนัยอาจเป็นเรื่องยุ่งยากและกฎลูกโซ่มีความสำคัญมากมาก
คุณต้องใช้กฎแคลคูลัสบิ๊กสามข้อเพื่อแก้ปัญหานี้และอนุพันธ์ของฟังก์ชันเฉพาะสามข้อ
1) ความเป็นเส้นตรงของอนุพันธ์
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) กฎผลิตภัณฑ์
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) โดยไกลแนวคิดที่สำคัญที่สุดในการสร้างความแตกต่างโดยนัยคือ
กฎลูกโซ่. สำหรับฟังก์ชั่นผสมฟังก์ชั่นของฟังก์ชั่นอื่น ๆ # f (U (x)) # เรามี, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
คุณสามารถไปกับสิ่งนี้
# d / dx (f (u (y (x (x))))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, และในและในและใน บันทึก # DX / DX = 1 #.
ตัวอย่าง: หากคุณมีฟังก์ชั่นของฟังก์ชั่น # f (U) # ที่ไหน #ยู# เป็นฟังก์ชั่นของ # x #. กล่าวคือ # f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (ที่นี่ # f (U) = sqrt (U) # และ #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # จำ # U = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
การแสดงออกสำหรับประเภทฟังก์ชั่นที่เฉพาะเจาะจง
A) วิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) วิธีหาอนุพันธ์ของ # อี ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- น่าเบื่อใช่มั้ย
C) วิธีหาอนุพันธ์ของ # cos (x) # เพราะ # sec (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
กุญแจสำคัญในการสร้างความแตกต่างโดยนัยคือการใช้กฎลูกโซ่เพื่อหาอนุพันธ์ของ x และฟังก์ชันของทั้ง x และ y เช่นวงกลม
# 9 = x ^ 2 + Y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
