สูตรทั่วไปสำหรับพหุนามของพหุนามของดีกรี n คืออะไร?

ตอบ:

ดูคำอธิบาย …

คำอธิบาย:

พหุนามของพหุนาม # f (x) # ของปริญญา # n # สามารถอธิบายได้ในแง่ของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ซิลเวสเตอร์ของ # f (x) # และ # f (x) # ดังต่อไปนี้:

ได้รับ:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

เรามี:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

เมทริกซ์ของ Sylvester # f (x) # และ # f (x) # คือ # (2n-1) xx (2n-1) # เมทริกซ์ที่เกิดขึ้นโดยใช้สัมประสิทธิ์คล้ายกับตัวอย่างต่อไปนี้สำหรับ # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_3, a_0, a_0) (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, aa, 2), 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

จากนั้นก็แยกแยะ # # เดลต้า ได้รับในแง่ของปัจจัยของซิลเวสเตอร์เมทริกซ์โดยสูตร:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

สำหรับ # n = 2 # เรามี:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(ซึ่งคุณอาจพบว่าจดจำได้มากขึ้นในแบบฟอร์ม #Delta = b ^ 2-4ac #)

สำหรับ # n = 3 # เรามี:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (white) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

discriminants สำหรับ quadratics (# n = 2 #) และ cubics (# n = 3 #) มีประโยชน์มากที่สุดในการที่พวกเขาบอกคุณอย่างชัดเจนว่ามีศูนย์ที่ซับซ้อนซ้ำซ้อนหรือไม่เชิงซ้อนเท่าไหร่ที่พหุนามมี

การแปลความหมายของพหุนามสำหรับพหุนามคำสั่งสูงกว่านั้นมี จำกัด มากขึ้น แต่มักจะมีคุณสมบัติที่พหุนามมีเลขศูนย์ซ้ำถ้าหากพินิจพิเคราะห์เป็นศูนย์

#COLOR (สีขาว) () #

อ่านเพิ่มเติม

ดู