Sqrt (3 + i) เท่ากันในรูปแบบ + bi คืออะไร

ตอบ:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

คำอธิบาย:

สมมติ # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

ดังนั้นการเปรียบเทียบชิ้นส่วนจริงและจินตภาพที่เราได้รับ:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

ด้วยเหตุนี้ #b = 1 / (2a) #ซึ่งเราสามารถแทนที่สมการแรกเพื่อให้ได้:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

ทวีคูณทั้งสองอย่างด้วย # 4a ^ 2 # ที่จะได้รับ:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

ดังนั้น:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

จากสูตรสมการกำลังสองเราได้:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

ตั้งแต่ #sqrt (10)> 3 #, เลือก #+# ลงชื่อเพื่อรับค่าจริงสำหรับ # A #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

ที่ไหน # B # มีสัญญาณเดียวกับ # A # ตั้งแต่ #b = 1 / (2a) #

รากที่สองที่สำคัญคือใน Q1 ด้วย #a, b> 0 #

นั่นคือ:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

ในความเป็นจริงถ้า #c, d> 0 # จากนั้นเราก็สามารถแสดง:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) ผม#