ฉันจะทำให้ sin (arccos (sqrt (2) / 2) -arcsin (2x) ง่ายขึ้นได้อย่างไร?

ตอบ:

ฉันเข้าใจ #sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) ## = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #

คำอธิบาย:

เรามีไซน์ของความแตกต่างดังนั้นขั้นตอนที่หนึ่งจะเป็นสูตรมุมแตกต่าง

#sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b #

#sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = sin arccos (sqrt {2} / 2) cos arcsin (2x) + cos arccos (sqrt {2} / 2) sin arcsin (2x) #

ทีนี้ไซน์ของอาร์คซินและโคไซน์ของอาร์คโคซีนนั้นง่าย แต่แล้วคนอื่น ๆ ล่ะ? เราก็รู้จัก #arccos (sqrt {2} / 2) # เช่น # pm 45 ^ circ #ดังนั้น

#sin arccos (sqrt {2} / 2) = pm sqrt {2} / 2 #

ฉันจะไป # PM # ที่นั่น ฉันพยายามทำตามแบบแผนที่ arccos เป็นค่าผกผันโคไซน์ผกผันกับ Arccos ค่าหลัก

ถ้าเรารู้ไซน์ของมุมคือ # 2x #นั่นคือด้านของ # 2x # และด้านตรงข้ามมุมฉากของ #1# ดังนั้นอีกด้านหนึ่งคือ # sqrt {1-4x ^ 2} #.

# cos arcsin (2x) = pm sqrt {1-4x ^ 2} #

ตอนนี้

#sin (arccos (sqrt {2} / 2) - arcsin (2x)) #

# = pm sqrt {2} / 2 sqrt {1-4x ^ 2} + (sqrt {2} / 2) (2x) #

# = {2x pm sqrt {1 - 4x ^ 2}} / {sqrt {2}} #