ตอบ:
# x = (1 + -sqrt5) / 2 x = (3 + -sqrt13) / 2 #
คำอธิบาย:
เนื่องจากควอติคนี้ไม่มีรากที่มีเหตุผล (และฉันไม่สามารถใส่ใจกับสูตรได้) เราจึงเริ่มต้นโดยใช้วิธีของนิวตันเพื่อประมาณราก:
# x ~~ -0.303 #
# x ~~ -0.618 #
# x 1.618 ~~ #
# x 3.303 ~~ #
จากสิ่งเหล่านี้เราพบว่า # x ~~ -0.618 # และ # x 1.618 ~~ # โดดเด่น. เรารับรู้ว่าสิ่งเหล่านี้เป็นอัตราส่วนทองคำ:
# x = (1 + -sqrt5) / 2 #
นอกจากนี้เรายังสามารถตรวจสอบว่าพวกเขาเป็นรากโดยเสียบเข้ากับสมการ แต่คุณสามารถใช้คำของฉันที่พวกเขาเป็นรากแน่นอน
ซึ่งหมายความว่าต่อไปนี้เป็นปัจจัยของสมการ:
# (เอกซ์ (1 + sqrt5) / 2) (เอกซ์ (1-sqrt5) / 2) = #
# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #
# = (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2 x + 1 / 4-5 / 4 = #
# = x ^ 2-x-1 #
ตั้งแต่เรารู้ # x ^ 2-x-1 # เป็นปัจจัยเราสามารถใช้การหารแบบยาวพหุนามเพื่อหาส่วนที่เหลือและเขียนสมการดังนี้:
# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #
เราหาแล้วเมื่อปัจจัยด้านซ้ายเท่ากับศูนย์ดังนั้นตอนนี้เราดูทางขวา เราสามารถแก้สมการกำลังสองโดยใช้สูตรสมการกำลังสองเพื่อรับ:
# x = (3 + -sqrt13) / 2 #
