ทำไมสแควร์รูทของ 5 เป็นจำนวนอตรรกยะ?

ตอบ:

ดูคำอธิบาย …

คำอธิบาย:

นี่คือภาพร่างของการพิสูจน์ตามข้อขัดแย้ง:

สมมติ #sqrt (5) = p / q # สำหรับจำนวนเต็มบวก # P # และ # Q #.

เราอาจคาดเดาได้ #p, q # เป็นตัวเลขที่เล็กที่สุด

จากนั้นตามคำนิยาม:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

ทวีคูณทั้งสองอย่างด้วย # Q ^ 2 # ที่จะได้รับ:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

ดังนั้น # P ^ 2 # หารด้วย #5#.

จากนั้นตั้งแต่ #5# เป็นนายก # P # จะต้องหารด้วย #5# เกินไป.

ดังนั้น #p = 5m # สำหรับจำนวนเต็มบวก # ม #.

ดังนั้นเราจึงมี:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

หารทั้งสองด้วย #5# ที่จะได้รับ:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

หารทั้งสองด้วย # ม ^ 2 # ที่จะได้รับ:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

ดังนั้น #sqrt (5) = q / m #

ตอนนี้ #p> q> m #ดังนั้น #q, m # เป็นคู่จำนวนเต็มขนาดเล็กที่มีความฉลาดทาง #sqrt (5) #ขัดแย้งกับสมมติฐานของเรา

สมมุติฐานของเราว่า #sqrt (5) # สามารถแสดงโดย # P / q # สำหรับจำนวนเต็มบางส่วน # P # และ # Q # เป็นเท็จ นั่นคือ, #sqrt (5) # ไม่สมเหตุสมผล นั่นคือ, #sqrt (5) # ไม่มีเหตุผล