ตัวเลขธรรมชาติใดที่ m คือพหุนาม (x + 1) ^ m + (x-1) ^ m หารด้วย x?

ตอบ:

เมื่อ # ม # แปลก

คำอธิบาย:

ถ้า # ม # แม้เราจะมี #+1# ในการขยายตัวของ # (x + 1) ^ # เมตร เช่นกัน # (x-1) ^ # เมตร และเป็น #2# จะไม่สามารถหารด้วย # x #.

อย่างไรก็ตามหาก # ม # แปลกเราจะมี #+1# ในการขยายตัวของ # (x + 1) ^ # เมตร และ #-1# ในการขยายตัวของ # (x-1) ^ # เมตร และพวกเขาก็ยกเลิกและเนื่องจาก monomials ทั้งหมดเป็นพลังที่หลากหลายของ # x #มันจะหารด้วย # x #.

ตอบ:

เลขคี่

คำอธิบาย:

โปรดทราบว่าระยะเวลาคงที่ของ # (x + 1) ^ # เมตร คือ # 1 ^ m = 1 #ในขณะที่ระยะเวลาคงที่ของ # (x-1) ^ # เมตร คือ # (- 1) ^ # เมตรซึ่งสลับกันระหว่าง #-1# สำหรับค่าคี่ของ # ม # และ #1# แม้กระทั่งค่าของ # ม #.

ดังนั้นค่าคงที่เหล่านี้จึงยกเลิกอย่างแม่นยำเมื่อ # ม # แปลก

ตอบ:

# "สำหรับเลขคี่ทั้งหมด" m #

คำอธิบาย:

# "เทอมคงที่หลังจากขยายด้วยทวินามของ" #

# "นิวตันต้องเป็นศูนย์และเท่ากับ:" #

# 1 ^ m + (-1) ^ m = 0 #

# => m "แปลกเพราะเรามี" 1-1 = 0. #